题解：[NOI2012] 随机数生成器

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题意分析

显然，因为 \(n\leq10^{18}\)，不能直接计算。因此考虑优化。

考虑到：

\[X_{n+1}\equiv aX_n+c\pmod m \]

考虑优化这个递推，想到矩阵快速幂。

构造矩阵：

\[\begin{bmatrix} X_{n+1}\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&c\\0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_n\\1 \end{bmatrix} \]

因此，有：

\[\begin{bmatrix} X_n\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&c\\0&1 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} X_0\\1 \end{bmatrix} \]

使用矩阵快速幂 \(\mathcal O\left(\log n\right)\) 计算即可。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=2;
ll P;
struct Matrix{
	int n,m;
	ll a[N+1][N+1];
	Matrix(int realN,int realM=-1){
		n=realN;
		if(realM==-1){
			m=n;
		}else{
			m=realM;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				a[i][j]=0;
			}
		}
	}
	Matrix(){
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
};
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){
	Matrix c(a.n,b.m);
	for(int i=1;i<=c.n;i++){
		for(int j=1;j<=c.m;j++){
			for(int k=1;k<=a.m;k++){
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(__int128)a.a[i][k]*b.a[k][j]%P)%P;
			}
		}
	}
	return c;
}
Matrix qpow(Matrix base,ll n){
	Matrix ans(base.n,base.m);
	for(int i=1;i<=ans.n;i++){
		ans.a[i][i]=1;
	}
	while(n){
		if(n&1){
			ans=ans*base;
		}
		base=base*base;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	ll a,c,x0,n,g;
	cin>>P>>a>>c>>x0>>n>>g;
	Matrix A(2);
	A.a[1][1]=a;A.a[1][2]=c;
	A.a[2][1]=0;A.a[2][2]=1;
	A=qpow(A,n);
	Matrix X(2,1);
	X.a[1][1]=x0,X.a[2][1]=1;
	Matrix B(2,1);
	B=A*X;
	int ans=B.a[1][1]%g;
	if(ans<0){
		ans+=g;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush(); 
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}