题解：【MYCOI R1】好想大声说爱你

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在场上被骗了，最后才写出来，遂有此题解。

题意分析

记原题面中 \(L,M\) 分别为 \(l,m\)。

如果无解则输出 Che_is_Loser。

然而你发现似乎怎样都有解，实际上也是如此……也许只有我在这里停了。

但是在 IOI 赛制下，其实你可以直接交一发就可以知道没有无解了。

我们的目标是让 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 都增长到 \(m\)。那么对于每一个 \(a_i<m\)，对答案的贡献至少是 \(m-a_i+1\)。因为你至少选择 \(1\) 次，再每次增长 \(1\)。

• 容易想到如果存在 \(a_x\geq m\)，无论 \(l\) 为何值，你始终有一种最优策略，即从 \(x\) 向两边扩展。实际上的操作次数也就是：

  \[\textit{cnt}+\sum_{i=1}^n\max(m-a_i,0) \]

  \(\textit{cnt}\) 表示 \(a_i<m\) 的数量。

  这个策略是最优的，因为这就是上文的下界。

• 对于不存在 \(a_x\geq m\) 的情况，考虑贪心。

  不难发现 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\max(m-a_i,0)\) 的贡献是不可避免的，因此总次数最小当且仅当每一个点被重复选择的次数最小。

  • 如果构造出了 \(a_x\geq m\)，则剩余的每一个点的选择次数都为 \(1\)，最优。

  • 如果不是先构造 \(a_x\geq m\)，则不优。

    证明也比较简单。你肯定会有一个点 \(y\) 是最先达到 \(m\) 的，之后你就可以从 \(y\) 开始扩展。但是如果除了 \(y\) 之外你还使 \(z\) 增长，那么之后 \(y\) 扩展的时候又要选择一次 \(z\)，\(z\) 被重复选择，不优。

  因此思路就很简单：用最少的选择次数构造一个 \(a_x\geq m\)。不难想到选择 \(a\) 的最大值来构造。

  对于最大值 \(a_x\)，取其相邻项 \(a_y\)。（\(y=x\pm1\)）

  先选择 \(a_y\)，再令其增长 \(a_y\leftarrow a_x+1\)。这一次对于答案的贡献为 \(a_x+1-a_y+1\)。

  之后就是 \(a_x\leftarrow a_y+1\)，再 \(a_y\leftarrow a_x+1\)，重复循环。

  每次对于答案的贡献为 \(3\)，\(a_x\) 或 \(a_y\) 增长 \(2\)。

  得到了 \(a_x=m\) 之后，继续扩展即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define int ll
constexpr const int N=1e6;
int n,l,m,a[N+1],d[N+1];
int left_max[N+1],right_max[N+1];
int ans;
main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>l>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	ll sum=0;
	int cnt=0;
	bool vis=false; 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		d[i]=max(0ll,m-a[i]);
		sum+=d[i];
		if(d[i]>0){
			cnt++;
		}
		if(a[i]>=m){
			vis=true;
		}
	}
	if(sum==0){
		cout<<"0\n";
		return 0;
	}
	if(vis){
		cout<<sum+cnt<<'\n';
		return 0;
	}
	int Max=a[1],x=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]>Max){
			Max=a[i];
			x=i;
		}
	}
	int ans=0,y=x+1;
	if(y>n){
		y=x-1;
	}
	ans+=1+a[x]+1-a[y];
	a[y]=a[x]+1;
	while(a[y]<m){
		swap(x,y);
		a[y]+=2;
		ans+=3;
	}
	sum=0;cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		d[i]=max(0ll,m-a[i]);
		sum+=d[i];
		if(d[i]>0){
			cnt++;
		}
	}
	ans+=cnt+sum;
	cout<<ans<<'\n';
	 
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}