题解：[NOI2024] 分数

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第一道黑题居然是 NOI 的题。

题意分析

显然，\(f(i,j)=f(j,i)\)，因此可以假定 \(n\leq m\)。（否则交换 \(n,m\)）。

生成方式唯一

假设 \(x\in S\)，则从 \(2\) 开始生成，\(x\) 的最短生成方式是唯一的。

证明

由 \(S\) 性质可得：

• \(\dfrac1x\in S\)。
• \(x+2k\in S\)。

这可以等价于：

• \(\dfrac{1}{x+2k}\in S\)。

其中，\(k\in \mathbb Z\)，且 \(x+2k>0\)。

则，\(x\) 可以表示为连分数：

\[x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{\begin{aligned}\cdots\end{aligned}}{\dfrac{1}{2+2k_1}+2k_2}+\cdots}+2k_n} \]

---

令 \(x\) 的最短生成方式不唯一，设两种方式的增加数为 \(k_i,k'_i\)。

可以使用数学归纳法证明。

考虑到 \(n=1\) 时，有：

\[\dfrac{1}{2+2k_1}=\dfrac{1}{2+2k'_1} \]

交叉相乘，得到：

\[2+2k_1=2+2k'_1 \]

必有 \(k_1=k'_1\)，即操作次数为 \(1\) 的 \(x\) 的最短生成方式唯一。

可以发现，一个连分数对应一个生成出来的元素。

假设 \(\dfrac{1}{2+2k_i},\dfrac1{2+2k'_i}\) 对应同一个元素 \(y\)，从 \(y\) 走出的元素操作 \(1\) 次到了同一个元素 \(x\)，生成方式必然相同，则 \(n=i+1\) 时也成立。

故，生成方式唯一。

DFS 搜索

可以发现，不需要取模。那么要么是毒瘤题写高精度，要么是答案不多。

因此可以考虑复杂度与答案相关的算法——搜索。

设当前搜索分式中 \(k_i\) 的最大值为 \(\textit{Max}\)。

则连分式可以被表示为 \(\dfrac{a\cdot\textit{Max}+b}{c\cdot\textit{Max}+d}\)。

连分式：

\[x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{\begin{aligned}\cdots\end{aligned}}{\dfrac{1}{2+2k_1}+2k_2}+\cdots}+2k_i} \]

设当前元素为第 \(i\) 项。

当前状态 \(x_i>1\) 的部分对答案 \(\textit{ans}\) 的贡献即 \(\begin{cases}a\cdot x_i+b\leq n\\c\cdot x_i+d\leq m\\x_i\geq Max\end{cases}\) 的解的数量。

\(x_i<1\) 的部分对答案 \(\textit{ans}\) 的贡献即 \(\begin{cases}c\cdot x_i+d\leq n\\x_i\geq \textit{Max}\end{cases}\) 的解的数量。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=3e7,M=3e7;
int n,m;
ll ans;
template<typename T>
T divide(T a,T b){
	if(!b){
		return 2147483647; 
	}
	return a/b;
}
//统计具体答案
void dfs(int a,int b,int c,int d,int Max){
	if(1ll*a*Max+b>n){
		return;
	}
	ans+=max(0 , min( divide(n-b,a) ,divide(m-d,c) ) - Max + 1);
	ans+=max(0 , divide(n-d,c) - Max + 1);
	for(int x=1;;x++){
		int down=max(Max,x+1);
		int A=2*c*x+a,B=2*d*x+b;
		if(1ll*A*down+B>m){
			break;
		}
		dfs(c,d,A,B,down);
	}
}
//搜索连分式
void dfs2(int a,int b,int Max){
	for(int x=1;;x++){
		int down=max(Max,x);
		ll pl=2ll*x*b+a;
		if(2ll*pl*down+b>m){
			break;
		}
		dfs2(b,pl,down);
	}
	dfs(0,b,2*b,a,Max);
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n>>m;
	if(n>m){
		swap(n,m);
	}
	dfs2(0,1,1);
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}