题解：[省选联考 2024] 季风

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题目分析

首先，明显 \(0\sim n-1,0\sim m-1\) 不好，因此我们统一使用以 \(1\) 开始的下标。

其次，对于“\(\large x_{i\bmod n}\)”，那么我们为了便于分析（但事实上在后文就会发现只会用到 \(x_1\sim x_n\)），直接让其无限循环，即：令 \(\large \forall x_i=x_{i\bmod n}\)。对 \(\large y_{i \bmod n}\) 进行同样的处理。

同样地，为了便于分析，以下暂不考虑 \(m=0\) 的情况会出现，因为 \(m=0\) 最小成立显然当且仅当 \(x=y=0\)，特判即可。

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考虑到：

\[\large \sum\limits_{i=1}^m(x'_i+x_i)=x \]

那么，有：

\[\sum_{i=1}^mx'_i = x - \sum_{i=1}^m x_i \]

同理，有：\(\large \sum\limits_{i=1}^my'_i=y-\sum\limits_{i=1}^my_i\)。

因为 \(\vert x'_i\vert+\vert y'_i\vert \leq k\)，则 \(\large\Bigg\vert \sum\limits_{i=1}^mx'_i\Bigg\vert +\Bigg\vert\sum\limits_{i=1}^my'_i\Bigg\vert \leq mk\)。

结合两式，有：$$\large\Bigg\vert x-\sum\limits_{i=1}^mx_i\Bigg\vert +\Bigg\vert y-\sum\limits_{i=1}^my_i\Bigg\vert \leq mk$$。

一个很明显的结论就是 \(p \leq \vert p \vert\) 恒成立，那么 \(m\) 需要同时满足以下条件：

\[\left\{ \begin{array}{} \large x-\sum\limits_{i=1}^mx_i+y-\sum\limits_{i=1}^my_i\leq mk\\ \large x-\sum\limits_{i=1}^mx_i+\sum\limits_{i=1}^my_i-y\leq mk\\ \large \sum\limits_{i=1}^mx_i-x+y-\sum\limits_{i=1}^my_i\leq mk\\ \large \sum\limits_{i=1}^mx_i-x+\sum\limits_{i=1}^my_i-y\leq mk\\ \end{array} \right. \]

等价于需要满足：

\[\left\{ \begin{aligned} &\large \sum_{i=1}^m(x_i+y_i-k)\geq x+y\\ &\large \sum_{i=1}^m(x_i-y_i-k)\geq x-y\\ &\large \sum_{i=1}^m(-x_i+y_i-k)\geq -x+y\\ &\large \sum_{i=1}^m(-x_i-y_i-k)\geq -x-y\\ \end{aligned} \right. \]

因此，只有当 \(m\) 满足上述条件时，\(m\) 才成立。

现在，针对第一种展开分析。（剩下三种分析见后文）

设 \(\large f_i=\sum\limits_{j=1}^i(x_j+y_j-k)\)，则有 \(\large f_m\geq x+y\)。

设 \(m=qn+i\)，其中 \(i=m\bmod n\)（或 \(i=n\)）。

考虑到 \(x_j,y_j\) 均以 \(n\) 为周期循环，有 \(\large f_m=f_{qn}+f_i=q\times f_n+f_i\)。

则：\(\large q\times f_n+f_i\geq x+y\)。

不等式，明显分类讨论。

1. \(\large f_n>0\) 时，解得 \(\large q_i\geq \Bigg\lceil\dfrac{x+y-f_i}{f_n}\Bigg\rceil\)。

2. \(\large f_n<0\) 时，解得 \(\large q_i\leq \Bigg\lfloor\dfrac{x+y-f_i}{f_n}\Bigg\rfloor\)。

3. \(f_n=0\) 时，需要继续分类。

   1. 若 \(\large f_i<x+y\)，则此时无解，与条件相悖。
   2. 否则，有解，解为 \(q_i=0\)。

我们使用 \(\large [l_i,r_i]\) 来描述 \(\large q_i\) 的上下界，每次更新 \(l_i,r_i\) 即可，最终答案即为 \(\large \min\limits_{i=1}^{n}(l_i\times n+1)\)。

但需要注意的是，\(i\in[1,n]\)，而不是 \([1,n)\)。因为我们需要考虑 \(m\bmod n=0\) 的情况，那么不妨令 \(q_n=\dfrac{m}{n}-1,i=n\)，便于处理。

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那么至此，我们就求出了满足第一个不等式 \(\large \sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i-k)\geq x+y\) 的 所有区间 \([l_i，r_i]\)。

同理再进行三次操作，求出最终所有公共的 \([l_i,r_i]\) ，答案即 \(\large \min\limits_{i=1}^{n}(l_i\times n+1)\)。

AC代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAX=(1ll<<60);
const int N=1e5;
int n,k,x,y,X[N+1],Y[N+1];
ll l[N+1],r[N+1];
inline void solve(int opx,int opy){
	static ll f[N+1];
	ll t=opx*x+opy*y; 
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+opx*X[i]+opy*Y[i]+k;
	if(f[n]==0){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(f[i]<t)r[i]=-MAX;
		}
	}else if(f[n]>0){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(t>f[i])l[i]=max(l[i],(t-f[i])/f[n] + ( (t-f[i])%f[n]>0 ) );
		}
	}else{
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(f[i]<t)r[i]=-MAX;
			else r[i]=min(r[i],(t-f[i])/f[n]);
		}
	}
}
inline void work(){
	scanf("%d %d %d %d",&n,&k,&x,&y);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d %d",X+i,Y+i);
		l[i]=0;r[i]=MAX;
	}
	if(x==0&&y==0){
		printf("0\n");
		return;
	}solve(1,1);solve(1,-1);solve(-1,1);solve(-1,-1);
	ll ans=MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(l[i]<=r[i])ans=min(ans,l[i]*n+i);
	}printf("%lld\n",(ans<MAX?ans:-1));
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)work();
	
	/*fclose(stdin); 
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}