李超线段树

例题链接

要求在平面直角坐标系下维护两个操作：

在平面上加入一条线段。记第 \(i\) 条被插入的线段的标号为 \(i\)。

给定一个数 \(k\)，询问与直线 \(x = k\) 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段的编号。

特别地，如果线段是竖直的，则取最上面的点。线段若不存在，则输出 \(0\)。

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq n \leq 10^5\)，\(1 \leq k, x_0, x_1 \leq 39989\)，\(1 \leq y_0, y_1 \leq 10^9\)。强制在线。

李超线段树

插入线段即插入定义域有限制的一次函数。竖直线段即定义域为 \([x,x]\) 的一次函数 \(y=b\)。

因此可以考虑线段树维护 \(x\) 轴上的区间操作，维护区间最高一次函数。（李超树不能维护线段删除。）

传统线段树无法很好地维护，因此有了李超线段树。

一次函数存储

可以结构体配合重载运算符。

struct node{
	int x,y;
};
struct line{
	double k,b;
	line(){
		
	} 
	line(node a,node b){
		if(a.x==b.x){
			k=0;
			line::b=max(a.y,b.y);
		}else{
			k=1.0*(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
			line::b=a.y-k*a.x;
		}
	}
	double operator ()(int x){
		return k*x+b;
	}
}a[N+1];

建树

其实没必要，不存储区间端点则不需要建树。一个点维护的信息仅有 \(\textit{id}\)，而初始时均为 \(0\)。

struct node{
    int l,r;
    int id;//线段编号 
}t[X<<2|1];
void build(int p,int l,int r){
    t[p]={l,r};
    if(l==r){
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build(p<<1|1,mid+1,r);
}

精度问题

double 具有浮点误差，需要避免。设 eps 为最小精度，本文取 \(10^{-9}\)。

重定义小于（leq）、大于（geq）和等于（eq）。

bool leq(double a,double b){
    return a-b<-eps;
}
bool geq(double a,double b){
    return a-b>eps; 
}
bool eq(double a,double b){
    return abs(a-b)<=eps;
}

插入线段

其实类似于扫描线的线段树，节点标记并不会下传。

先考虑找出所有在定义域内的线段树节点区间 \([l,r]\)。考虑对于每一个线段树节点，维护节点区间内的最高线段编号 \(\textit{id}\)，且 \([l,r]\) 是定义域内的极大区间，其父区间并不被定义域包含。（\(\textit{id}\) 并不会下传）

设插入线段编号为 \(x\)，和 \(x\) 定义域内区间节点 \([l,r]\)。所有的 \([l,r]\) 都可以在线段树上 \(\mathcal O(\log n)\) 找出来。

找到区间后，考虑更新 \(\textit{id}\)。

如果 \([l,r]\) 内 \(\textit{id}=0\)，即不存在，自然最好，可以直接 \(\textit{id}\leftarrow x\)。
否则 \(\textit{id}\) 已经存在，则需要讨论。

记 \(\textit{mid}=\left\lfloor\dfrac{l+r}2\right\rfloor\)。

取 \(\textit{id},x\) 在区间中点 \(x=\textit{mid}\) 处的取值 \(y_{\textit{id}},y_x\)。
- 若 \(y_x>y_{\textit{id}}\)，则说明 \(x\) 一定更优，因此可以 \(x\longleftrightarrow\textit{id}\)，即交换 \(x,\textit{id}\) 的取值。
- 有：
  1. 若在 \(l\) 处有 \(\textit{y}_x>\textit{id}\)，说明 \(x,\textit{id}\) 在 \([l,\textit{mid}]\) 中相交，递归判断左子区间。
  2. 若在 \(r\) 处有 \(y_x>\textit{id}\)，说明 \(x,\textit{id}\) 在 \([\textit{mid}+1,r]\) 中相交，递归判断右子区间。
  这二者显然至多一个成立，因此复杂度 \(\mathcal O(\log n)\)。

时间复杂度：\(\mathcal O\left(\log^2n\right)\)。

bool check(int u,int v,int x){
    double yU=a[u](x),yV=a[v](x);
    return geq(yU,yV)||eq(yU,yV)&&u<v;
}
void down(int p,int x){
    int &id=t[p].id;
    if(t[p].l==t[p].r){
        if(check(x,id,t[p].l)){
            id=x;
        }
        return;
    }
    if(check(x,id,t[p<<1].r)){
        swap(x,id);
    }
    if(check(x,id,t[p<<1].l)){
        down(p<<1,x);
    }
    if(check(x,id,t[p<<1|1].r)){
        down(p<<1|1,x);
    }
}
void update(int p,int l,int r,int x){
    if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
        down(p,x);
        return;
    }
    if(l<=t[p<<1].r){
        update(p<<1,l,r,x);
    }
    if(t[p<<1|1].l<=r){
        update(p<<1|1,l,r,x);
    }
}

查询线段

单点查询，查询路径上所有的 \(\textit{id}\) 中最优的一个即可。

时间复杂度：\(\mathcal O(\log n)\)。

void chkmax(int &u,int v,int x){
    double yU=a[u](x),yV=a[v](x);
    if(yV>yU){
        u=v;
    }else if(eq(yU,yV)&&v<u){
        u=v;
    }
}
int query(int p,int x){
    int ans=t[p].id;
    if(t[p].l==t[p].r){
        return ans;
    }
    if(x<=t[p<<1].r){
        chkmax(ans,query(p<<1,x),x);
    }else{
        chkmax(ans,query(p<<1|1,x),x);
    }
    return ans;
}

例题 AC 代码

注意强制在线的写法，不要模数取错。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int N=1e5,X=39989,Y=1e9;
constexpr const double eps=1e-9;
struct node{
	int x,y;
};
struct line{
	double k,b;
	line(){
		
	} 
	line(node a,node b){
		if(a.x==b.x){
			k=0;
			line::b=max(a.y,b.y);
		}else{
			k=1.0*(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
			line::b=a.y-k*a.x;
		}
	}
	double operator ()(int x){
		return k*x+b;
	}
}a[N+1];
struct LiChaoSegTree{
	struct node{
		int l,r;
		int id;//线段编号 
	}t[X<<2|1];
	void build(int p,int l,int r){
		t[p]={l,r};
		if(l==r){
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		build(p<<1,l,mid);
		build(p<<1|1,mid+1,r);
	}
	bool leq(double a,double b){
		return a-b<-eps;
	}
	bool geq(double a,double b){
		return a-b>eps; 
	}
	bool eq(double a,double b){
		return abs(a-b)<=eps;
	}
	bool check(int u,int v,int x){
		double yU=a[u](x),yV=a[v](x);
		return geq(yU,yV)||eq(yU,yV)&&u<v;
	}
	void down(int p,int x){
		int &id=t[p].id;
		if(t[p].l==t[p].r){
			if(check(x,id,t[p].l)){
				id=x;
			}
			return;
		}
		if(check(x,id,t[p<<1].r)){
			swap(x,id);
		}
		if(check(x,id,t[p<<1].l)){
			down(p<<1,x);
		}
		if(check(x,id,t[p<<1|1].r)){
			down(p<<1|1,x);
		}
	}
	void update(int p,int l,int r,int x){
		if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
			down(p,x);
			return;
		}
		if(l<=t[p<<1].r){
			update(p<<1,l,r,x);
		}
		if(t[p<<1|1].l<=r){
			update(p<<1|1,l,r,x);
		}
	}
	void chkmax(int &u,int v,int x){
		double yU=a[u](x),yV=a[v](x);
		if(yV>yU){
			u=v;
		}else if(eq(yU,yV)&&v<u){
			u=v;
		}
	}
	int query(int p,int x){
		int ans=t[p].id;
		if(t[p].l==t[p].r){
			return ans;
		}
		if(x<=t[p<<1].r){
			chkmax(ans,query(p<<1,x),x);
		}else{
			chkmax(ans,query(p<<1|1,x),x);
		}
		return ans;
	}
}t;
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int n;
	cin>>n;
	t.build(1,1,X);
	int lastans=0;
	for(int i=1,id=0;i<=n;i++){
		int op,k;
		node a,b;
		cin>>op;
		switch(op){
			case 0:
				cin>>k;
				k=(k+lastans-1)%X+1;
				lastans=t.query(1,k);
				cout<<lastans<<'\n';
				break;
			case 1:
				cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y;
				a.x=(a.x+lastans-1)%X+1;
				a.y=(a.y+lastans-1)%Y+1;
				b.x=(b.x+lastans-1)%X+1;
				b.y=(b.y+lastans-1)%Y+1;
				if(a.x>b.x){
					swap(a,b);
				}
				id++;
				::a[id]=line(a,b);
				t.update(1,a.x,b.x,id);
				break;
		}
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}

李超线段树维护斜率优化 DP

李超线段树同样可以用于维护斜率优化 DP，并且可以处理决策点不单调的情况。

参见此处。

posted @ 2025-08-21 17:58 TH911 阅读(19) 评论(0) 收藏举报

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