树上差分

树上差分

记 \(f_x\) 表示节点 \(x\) 的父节点。

点差分

记 \(a_x\) 表示节点 \(x\) 的点权。

那么当我们想要在树上的某一段路径上的点都加上 \(1\) 的时候，一个一个暴力做效率就太过于低下，因此可以考虑差分。

记 \(d\) 表示 \(a\) 的差分数组，即：

\[d_x=a_x-\sum_{i\in son_x}a_i \]

这样，如果将 \(p\sim q\) 路径上的所有点权都加 \(1\)，即：

\[d_p\leftarrow d_p+1\\ d_q\leftarrow d_q+1\\ d_{\operatorname{lca}(p,q)}\leftarrow d_{\operatorname{lca}(p,q)}-1\\ d_{f_{\operatorname{lca}(p,q)} }\leftarrow d_{f_{\operatorname{lca}(p,q)} }-1 \]

边差分

边不好存储，因此可以考虑树型结构半线型的特征，将其转移到点上。

因为对于除根节点为的任意节点 \(x\)，边 \((x,f_x)\) 确定，因此可以记 \(a_x\) 表示边 \((x,f_x)\) 的权值。

记 \(d\) 为 \(a\) 的差分数组，即：

\[d_x=a_x-\sum_{i\in son_x}a_i \]

此时再将 \(p\sim q\) 路径上的点都加 \(1\)，即：

\[d_p\leftarrow d_p+1\\ d_q\leftarrow d_q+1\\ d_{\operatorname{lca}(p,q)}\leftarrow d_{\operatorname{lca}(p,q)}-2 \]

差分还原

DFS 一遍即可。