题解：Memory and Scores

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题意分析

\(A,B\) 两个人的分数是独立的，也就是说，这两个人的分数不会相互影响。

那么我们就可以求出两个人的分数的方案数，然后把 \(A\) 的分数大于 \(B\) 的分数的方案数通过乘法原理计数即可。

记 \(A_{i,j}\) 表示 \(A\) 在第 \(i\) 轮分数为 \(j\) 的方案数。（\(B\) 同理可得。）

则有 \(A_{0,a}=1\)，这也是边界。

考虑到每次的增量为 \(x\in[-k,k]\)，有：

\[A_{i,j}=\sum_{l=-k}^kA_{i-1,j+l} \]

状态量是 \(\mathcal O(t\cdot kt)=\mathcal O\left(kt^2\right)\) 的，而转移是 \(\mathcal O(k)\)，这样总时间复杂度就是 \(\mathcal O\left(k^2t^2\right)\)，会 \(\text{TLE}\)。使用前缀和优化即可。

同理，求出 \(B_{i,j}\) 的值后，就可以乘法原理求出总的 \(A\) 的分数大于 \(B\) 的方案数。

对于 \(B_{i,j}\)，显然有 \(b-kt\leq j\leq b+kt\)。

则总方案数为：

\[\sum_{i=a-kt}^{a+kt}A_{t,i}\sum_{b-kt}^{i-1}B_{t,j} \]

再搞一个前缀和优化即可。

---

一个细节：分数有可能为负，数组的下标也有可能为负；此时将数组的下标整体右移即可。

AC 代码

时间复杂度：\(\mathcal O\left(kt^2\right)\)。

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
constexpr const int K=1000,T=100,P=1e9+7;
template<typename X>
struct specialArray{
	X a[(K*T<<1)+100];
	X& operator [](int p){
		return a[p+K*T+50];
	}
};
specialArray<int>A[T+1],sumA[T+1],B[T+1],sumB[T+1];
int a,b,k,t;
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>a>>b>>k>>t;
	A[0][a]=B[0][b]=1;
	for(int i=1;i<=a+k*t;i++){
		sumA[0][i]=sumA[0][i-1]+A[0][i];
	}
	for(int i=1;i<=b+k*t;i++){
		sumB[0][i]=sumB[0][i-1]+B[0][i];
	}
	for(int i=1;i<=t;i++){
		for(int j=a-k*t;j<=a+k*t;j++){
			A[i][j]=(1ll*sumA[i-1][min(j+k,a+k*t)]-sumA[i-1][max(j-k,a-k*t)-1])%P;
			sumA[i][j]=(1ll*sumA[i][j-1]+A[i][j])%P;
		}
	}
	for(int i=1;i<=t;i++){
		for(int j=b-k*t;j<=b+k*t;j++){
			B[i][j]=(1ll*sumB[i-1][min(j+k,b+k*t)]-sumB[i-1][max(j-k,b-k*t)-1])%P;
			sumB[i][j]=(1ll*sumB[i][j-1]+B[i][j])%P;
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=a-k*t;i<=a+k*t;i++){
		if(min(b+k*t,i-1)>=b-k*t){
			ans=(ans+1ll*A[t][i]*(sumB[t][min(b+k*t,i-1)]-sumB[t][b-k*t-1])%P)%P;
		}
	}
	if(ans<0){
		ans+=P;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}