题解：[ARC223C] Whole Product of Pairwise Distances

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题意分析

观察式子：

\[\prod_{1\leq i<j\leq n}\vert a_i-a_j\vert\bmod n \]

答案与 \(a_i\) 顺序无关，不妨令 \(a_1\leq a_2\leq a_3\leq\cdots\leq a_n\)，那么答案就是 \(\displaystyle\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(a_j-a_i\right)\bmod n\)。
发现 \(\bmod n\) 比较奇怪，一般都是模一个大质数，因此从此思考，可以发现令 \(a_i\leftarrow a_i\bmod n\)（不改变 \(a_i\) 的顺序）后 \(a_i\) 一定是一个 \(0\sim n-1\) 的排列。

否则如果存在相等的，答案就是 \(0\)，特判一下即可。

一个 \(a_j-a_i<0\) 对于答案的贡献为 \(-1\)，记模 \(n\) 后的 \(a_i\) 的逆序对数量为 \(k\)，这部分的贡献就是 \((-1)^k\)。

现在只用考虑 \(a_j-a_i\) 大于 \(0\) 的情况，显然是一个关于 \(n\) 的式子，不妨令 \(a_i=i-1\)，推导得到：

\[\begin{aligned} \prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^n(j-i)&=\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^{n-i}j\\ &=\prod_{i=1}^n(n-i)! \end{aligned} \]

树状数组求逆序对，\(\mathcal O(n\log n)\)。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
#define int long long
constexpr const int N=2e5;
int n,a[N+1],P,fact[N+1];
bool vis[N+1];
int qpow(int base,int n){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n&1){
			ans=1ll*base*ans%P;
		}
		base=1ll*base*base%P;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
struct bit{
	int t[N+1],tag[N+1],Tag;
	
	int lowbit(int x){
		return x&-x;
	}
	void add(int x,int k){
		x++;
		while(x){
			if(tag[x]!=Tag){
				tag[x]=Tag;
				t[x]=0;
			}
			t[x]+=k;
			x-=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x){
		x++;
		int ans=0;
		while(x<=N){
			if(tag[x]!=Tag){
				tag[x]=Tag;
				t[x]=0;
			}
			ans+=t[x];
			x+=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
	void clear(){
		Tag++;
	}
}t;
main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		P=n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		sort(a+1,a+n+1);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]%=n;
		}
		for(int i=0;i<n;i++){
			vis[i]=0;
		}
		bool flag=false;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(vis[a[i]]){
				flag=true;
				break;
			}
			vis[a[i]]=true;
		}
		if(flag){
			cout<<0<<'\n';
			continue;
		}
		t.clear();
		int cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cnt+=t.query(a[i]+1);
			t.add(a[i],1);
		}
		int ans=1;
		if(cnt%2==1){
			ans=n-1;
		}
		fact[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%P;
		} 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			ans=1ll*ans*fact[n-i]%P;
		} 
		cout<<ans<<'\n';
	}
	
	cout.flush();
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}