题解：[ARC173D] Bracket Walk

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题意分析

给定一张图，每一条边都对应着一个 ( 或 )，构造一条路径使得最终形成的括号序列是合法的。

首先，这个序列想要合法，长度肯定得是偶数，且其中 (、) 的数量相等。

那么我们将序列分开来看，已经能够匹配上的 ( 和 ) 先不管，那么匹配不了的只能形如 )...(。（否则就匹配上了）

考虑到合法路径一定是个环（起点、终点相同），因此我们可以通过更换起点的方式来更改序列的顺序，使得最终环上的序列合法。

对于每一条边赋一个权值：( 则为 \(1\)，) 则为 \(-1\)，这样我们就可以很好的判断环上路径是否合法，仅仅需要判断环上路径权值之和是否为 \(0\) 即可。

因此我们考虑环。

显然，环可以分为正环、负环、零环（和为 \(0\)），零环显然成立。

而对于正环、负环，明显都可以用来调整 (、) 的数量。

因此我们最开始就可以在不考虑序列合法性的情况下，遍历所有的边，之后利用正环、负环调整数量使其合法。

那么我们判断正环、负环数量即可。

• 同时有正环、负环：Yes。
• 只有正环：No。
• 只有负环：No。
• 没有正环也没有负环：Yes。（即零环，因为环必然存在）

那么 Bellman-Ford \(\mathcal O(nm)\) 求解即可。

对于正环，将权值取反后再跑一遍负环即可。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
const int N=4000,M=8000;
struct edge{
	int u,v,w;
}a[M+1];
int n,m;
bool Bellman_Ford(){
	static int dis[N+1];
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		bool flag=true;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(dis[a[j].u]+a[j].w<dis[a[j].v]){
				dis[a[j].v]=dis[a[j].u]+a[j].w;
				flag=false;
			}
		}if(flag)return false;
	}return true;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/
	
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;char ch;
		scanf("%d %d",&a[i].u,&a[i].v);
		cin>>ch;
		a[i].w=(ch=='('?1:-1);
	}bool ans=Bellman_Ford();
	for(int i=1;i<=m;i++)a[i].w=-a[i].w;
	ans^=Bellman_Ford();
	printf("%s\n",(ans?"No":"Yes"));
	
	/*fclose(stdin);
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}