题解：[ARC122E] Increasing LCMs

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题意分析

对于这种构造题，构造一组 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，\(x_i\) 受到前缀信息限制，可以考虑倒序从后往前构造。

则 \(a_i\) 能放在末尾，记 \(A\) 为除 \(a_i\) 外未放置的集合，当且仅当：

\[\begin{aligned} \operatorname*{lcm}_{x\in A}x&<\operatorname{lcm}\left(\operatorname*{lcm}_{x\in A}x,a_i\right)\\ \operatorname*{lcm}_{x\in A}x&<\dfrac{\displaystyle a_i\operatorname*{lcm}_{x\in A}x}{\displaystyle\operatorname{gcd}\left(\operatorname*{lcm}_{x\in A}x,a_i\right)}\\ a_i&>\gcd\left(\operatorname*{lcm}_{x\in A}x,a_i\right)\\ \end{aligned} \]

但是这个东西还是不太好做，因为求 \(\displaystyle\operatorname*{lcm}_{x\in A}x\) 会爆 long long。将其转化为：

\[a_i>\gcd\left(\operatorname*{lcm}_{x\in A}x,a_i\right)=\operatorname*{lcm}_{x\in A}\gcd(x,a_i) \]

根据唯一分解定理，这是正确的。

之后当 \(A\) 中删除元素的时候，\(\displaystyle\operatorname*{lcm}_{x\in A}x\) 单调不升，\(a_i\) 一定时 \(\displaystyle\gcd\left(\operatorname*{lcm}_{x\in A}x,a_i\right)\) 也单调不升。因此这个做法是正确的，任意选取满足条件的 \(a_i\) 构造即可。

于是可以暴力 \(\mathcal O\left(n^3\log V\right)\) 构造，无解就是当前找不到一个 \(a_i\) 使得 \(\displaystyle a_i>\operatorname*{lcm}_{x\in A}\gcd(x,a_i)\) 成立。

AC 代码

//#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<list>
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr const int N=100;
int n;
ll a[N+1],x[N+1];
bool vis[N+1];
ll lcm(ll a,ll b){
	return a/__gcd(a,b)*b;
}
int main(){
	/*freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);*/ 
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(vis[j]){
				continue;
			}
			ll pl=1;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				if(vis[k]||j==k){
					continue;
				}
				pl=lcm(pl,__gcd(a[j],a[k]));
			}
			if(pl<a[j]){
				x[i]=a[j];
				vis[j]=true;
				break;
			}
		}
		if(x[i]==0){
			cout<<"No\n";
			return 0;
		}
	}
	cout<<"Yes\n";
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<x[i]<<' ';
	}
	
	cout.flush(); 
	
	/*fclose(stdin);114514
	fclose(stdout);*/
	return 0;
}