树上差分详解
树上差分，顾名思义，就是在树上进行差分，以起到优化复杂度的目的。主要作用是对树上的路径进行修改和查询操作，在修改多、查询少的情况下复杂度比较优秀。实际上，树上差分能够实现的操作，用线段树、树剖、$LCT$等等也可以实现，但它的优势在于实现简单，可以避免在考场上出现写题五分钟、调试两小时的情况 当然大佬可以忽略这点
差分
在讲解树上差分之前，先讲一下差分的思想。
差分，可以当做前缀和的逆运算。既然是逆运算，运算方法自然就是相反的了。定义差分数组$diff$，则运算法则为：（设原数列为$a$）
$$diff_i=a_i-a_{i-1}$$
作个比较：
| 原数列 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| 前缀和 | 9 | 13 | 20 | 25 | 34 |
| 差分数组 | 9 | -5 | 3 | -2 | 4 |
| 前缀和的差分数组 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
| 差分数组的前缀和 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
显然，原数列的前缀和的差分数组还是原数列，原数列的差分数组的前缀和也是原数列，这就是差分被称为前缀和的逆运算的原因，也是差分可以用来优化操作的原因。实际上，差分优化和前缀和优化原理类似，只是实现相反。前缀和优化常常对前缀和数组作差，差分优化也常常对差分数组求前缀和。
这样，差分的概念就很清晰了。接下来开始进入正题。
树上差分
树上差分有什么作用？举个例子，如果题目要求对树上的一段路径进行操作，并询问某个点或某条边被经过的次数，树上差分就可以派上用场了。这就是树上差分的基本操作。
树上差分，就是利用差分的性质，对路径上的重要节点进行修改（而不是暴力全改），作为其差分数组的值，最后在求值时，利用$dfs$遍历求出差分数组的前缀和，就可以达到降低复杂度的目的。
树上差分时需要求$LCA$，不会的可以点击食用。
点差分
设将两点$u,v$之间路径上的所有点权增加$x$，$o=LCA(u,v)$,$o$的父亲节点为$p$，则操作如下：
diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=x,diff[p]-=x;
怎么样，是不是很简单！原理也很简单，举个例子：
设原树如下，现要将$2,3$之间路径上的所有点的权值增加$3$，设原权值均为$0$。
则操作后有：
这样，只要$dfs$一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点的最终权值！ 是不是很厉害
就是差分的思想，这里就不多说了。
边差分
思想一样，讲一下操作。
设将两点$u,v$之间路径上的所有边权增加$x$，$o=LCA(u,v)$，以每条边两端深度较大的节点存储该边的差分数组，则操作如下：
diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=2*x;
再举个例子，还是上面那个图 绝对不是我懒
则操作后有：
同样地，只要$dfs$一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点到父亲节点的边的最终权值了！
是不是很厉害
至于为什么点差分和边差分的操作不一样，很简单，请读者自己思考。
树上差分主要还是学习思想吧！
习题：
差分
综合应用题：P1083
树上差分
简单模板题：P3128
综合应用题：P2680
参考资料：
2019.7.16 于厦门外国语学校石狮分校
