（鲜花）均值不等式部分证明

本鲜花用于 \(\LaTeX\) 练手……？
参考资料：@Soh_paramEEMS 大神的脑子（已经过授权）

我们知道，两个数的算术平均数 \(\geq\) 其几何平均数：

\[\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \]

然后我们还知道二元的均值定理形式：

\[\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \]

对于 \(n\) 元我们有推广：

\[\begin{aligned} H_n&=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\\ G_n&=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}\\ A_n&=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\\ Q_n&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n {a_i}^2}{n}}\\ H_n\le G_n&\le A_n\le Q_n \end{aligned} \]

其中 \(H_n\) 称作调和平均数，\(G_n\) 称作几何平均数，\(A_n\) 称作算术平均数，\(H_n\) 称作平方平均数。作为今天的鲜花，我们将给出@Soh_paramEEMS 大神在 cnr 课上给出的数学归纳法证明 \(G_n\le A_n\) 的部分。

首先我们证明了 \(n(n\geq 2)\) 元的正确性，即有下式成立：

\[\sum_{i=1}^n a_i\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i} \]

我讨厌根号，所以我们把它写成这样：

\[\sum_{i=1}^n a_i\geq n(\prod_{i=1}^n a_i)^{\frac{1}{n}}① \]

需要证明：

\[\sum_{i=1}^{n+1} a_i\geq (n+1)(\prod_{i=1}^{n+1} a_i)^{\frac{1}{n+1}}② \]

然后我们令 \(S=(n-1)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\)，我们把 ② 的左边拎出来，变成：

\[\sum_{i=1}^n a_i + a_{n+1} + (n-1)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}} - S③ \]

然后对 \(\sum_{i=1}^n a_i\) 这 \(n\) 个数用一次 \(n\) 元的结论，然后对 \(a_{n+1} + (n-1)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\) 这 \(n\) 个数也用一次 \(n\) 元的结论，得到：

\[③ + S\geq n(\prod_{i=1}^n a_i)^{\frac{1}{n}}+n[a_{n+1}(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{n-1}{n+1}}]^{\frac{1}{n}} \]

再用二元结论合并一下可以得到：

\[\begin{aligned} \text{上式}&\geq 2n\{(\prod_{i=1}^n a_i)^{\frac{1}{n}}[a_{n+1}(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{n-1}{n+1}}]^{\frac{1}{n}}\}^{\frac{1}{2}}\\ &=2n\{(\prod_{i=1}^n a_i)[a_{n+1}(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{n-1}{n+1}}]\}^{\frac{1}{2n}}\\ &=2n[(\prod_{i=1}^{n+1} a_i)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{n-1}{n+1}}]^{\frac{1}{2n}}\\ &=2n[(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{2n}{n+1}}]^{\frac{1}{2n}}\\ &=2n(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\\ \end{aligned} \]

即：

\[\begin{aligned} ③ + S &\geq 2n(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\\ S&=(n-1)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\\ \implies ③&\geq (n+1)(\prod_{i=1}^{n+1}a_i)^{\frac{1}{n+1}}\\ \implies \sum_{i=1}^{n+1} a_i&\geq (n+1)(\prod_{i=1}^{n+1} a_i)^{\frac{1}{n+1}} \end{aligned} \]

证毕！这样就可以由 \(n(n\geq 2)\) 推出 \(n+1\) 啦啦啦。%%% @Soh_paramEEMS。如有疏漏，敬请指出。