维护 DAG 中所有节点可达节点数量 可以做到线性吗？

很简单，对吧？DFS 或者 BFS 一遍，EZ 秒了。

我要 BFS！

这张图能够给出几乎所有 hack。考虑 BFS，\(f_i\) 表示 \(i\) 的能到达节点，显然在这里转移是 \(f_u=\sum f_v\)，\(v\) 为 \(u\) 的所有直接后继。那么在图中，\(f_1=f_2+f_5\) 会导致 \(4\) 被算重。

这是错误的。

我要 DFS！

每次随便选一个没选过的节点作为 DFS 起点 \(now\)，给经过的每个没访问过的节点都打上 \(tag_u=now\)，每次转移判断如果没访问过直接给 \(f_u\) 加 \(f_v\)，访问过且不是本次 DFS 访问到的（即 \(tag_u\neq now\)）就加上 \(f_v\)。看起来挺理想的，但是在上图中，如果你选择 \(8\) 为一开始 DFS 的节点，经过 \(8,7,6,4\)，然后在选 \(1\) 开始 DFS，这时候 \(5,3\) 的后继都是不是本次 DFS 访问到的节点，都直接加 \(f_6+f_4\)，\(4\) 节点仍然算重。

这是错误的。

我要……

对于任意 DAG 目前现存唯一正确解就是用 bitset 维护可达点集合然后每次转移取并集，这样做时空是巨大的 \(O(\frac{n^2}{w})\)。但是如果题目中 DAG 有一定规律那么可以利用它快速完成取并集的操作，比如，可达的节点一定是一段连续的区间。

最后，如果有哪位天才想出了线性做法请第一时间让我知道，谢谢。

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感谢各位神犇指点。对于连通性强依赖的这一类问题，已有对其时间下界即在较小时间内无法获得完整图相关信息的证明，同时存在部分较为优秀的算法但是仍然无法摆脱 \(O(n^2)\) 的最劣时间，本博客也算是结题了。