MX-S7 / SMOI-R2 B / Speaker Solution

闲话

把 T2 出得比 T1 简单，颇有 CSP-S 2022 复赛之遗风。

题解

考虑将答案拆分成两个部分。

第一个部分为无论如何选择 \(z_i\) 都必然获得的利润，显然，这个值是两端点城市演讲收入之和减去两城市之间路费的值。

第二个部分为选择 \(z_i\) 所获得的额外利润。额外利润的值是 \(z_i\) 的演讲收入减去从 \(z_i\) 走到两城市之间路径上所需的最少路费的 \(2\) 倍。因为 \(z_i\) 是第二个城市，所以需要从路径的某一个点开始走到 \(z_i\) 再原路返回。

令 \(d_{i,j}\) 为从城市 \(i\) 到城市 \(j\) 需要花费的最少路费，\(d_{i,(u,v)}\) 为从城市 \(i\) 走到路径 \((u,v)\) 上需花费的最少路费。显然，当 \(i\) 在 \((u,v)\) 上时，\(d_{i,(u,v)}=0\)。

答案可表示为 \(c_x+c_y-d_{x,y}+c_z-2d_{z,(x,y)}\)。

答案的前三个量都可以通过树上前缀和轻松求得。考虑如何快速求最后两个量。

将最后两项捆绑起来求。

考虑对于每一个点 \(x\) 求 \(\max_{1\le i\le n}(c_i-2d_{x,i})\)。

首先，可以按照树上广义后序遍历顺序求出 \(\max_{i\in S_x}(c_i-2d_{x,i})\)，其中 \(S_x\) 为节点 \(x\) 的子树内节点集合。令上述值为 \(r_x\)，则 \(r_x\leftarrow\max_{i\in s_x}(r_i-2d_{x,i})\)，其中 \(s_x\) 为节点 \(x\) 的儿子节点集合，请注意 \(S_x\) 和 \(s_x\) 的定义差别。

接下来，我们可以把子树信息和除了父节点以外的信息拼起来组成以每个节点为根的整棵树的答案，也就是按照树上广义前序遍历顺序求出 \(\max_{1\le i\le n}(c_i-2d_{x,i})\)，转移方法为 \(r_x\leftarrow\max(r_x,r_{f_x}-2d_{x,f_x})\)，其中 \(f_x\) 为 \(x\) 节点的父亲。特别的，不对遍历起点的节点进行此转移。

有了以上的信息后，使用树链剖分在每次询问时求解 \(\max(c_z-2d_{z,(x,y)})\) 即可。

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。使用 ST 表进行实现可以做到 \(O(n\log n)\)，不过我并没有这样做。

注意：以下代码为赛时代码，没有严格使用上述方法对问题进行求解，可能会有部分不必要的复杂操作，请自行辨别并在 C+V 借鉴时加以改进。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int n, q, f[N], siz[N], ds[N], dfn[N], tp[N], idx, rnk[N], dep[N];
using ll = long long;
ll c[N], mx[N], dsv[N], fv[N];
using pil = pair<int, ll>;
vector<pil> road[N];
template <typename _Tp> inline void read(_Tp &x)
{
    static char ch;
    while (ch = getchar(), !isdigit(ch))
        ;
    x = (ch ^ 48);
    while (ch = getchar(), isdigit(ch))
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
}
template <typename _Tp, typename... _Args> inline void read(_Tp &x, _Args &...args)
{
    read(x);
    read(args...);
}
void dfs_init(int x)
{
    dep[x] = dep[f[x]] + 1;
    mx[x] = c[x];
    siz[x] = 1;
    for (auto &[i, v] : road[x])
    {
        if (i == f[x])
            continue;
        f[i] = x;
        fv[i] = v;
        dfs_init(i);
        siz[x] += siz[i];
        if (siz[i] > siz[ds[x]])
        {
            ds[x] = i;
            dsv[x] = v;
        }
        mx[x] = max(mx[x], mx[i] - v * 2);
    }
}
void dfs_build(int x, int ttp)
{
    dfn[x] = ++idx;
    rnk[idx] = x;
    tp[x] = ttp;
    if (!ds[x])
        return;
    mx[ds[x]] = max(mx[ds[x]], mx[x] - dsv[x] * 2);
    dfs_build(ds[x], ttp);
    for (auto &[i, v] : road[x])
    {
        if (i == f[x] or i == ds[x])
            continue;
        mx[i] = max(mx[i], mx[x] - v * 2);
        dfs_build(i, i);
    }
}
ll mxtr[N << 2], edv[N << 2];
void build(int x, int l, int r)
{
    if (l == r)
    {
        mxtr[x] = mx[rnk[l]];
        edv[x] = fv[rnk[l]];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(x << 1, l, mid);
    build(x << 1 | 1, mid + 1, r);
    edv[x] = edv[x << 1] + edv[x << 1 | 1];
    mxtr[x] = max(mxtr[x << 1], mxtr[x << 1 | 1]);
}
using pll = pair<ll, ll>;
pll query(int x, int l, int r, int lb, int rb)
{
    if (l >= lb and r <= rb)
        return {mxtr[x], edv[x]};
    pll res = {0, 0};
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (lb <= mid)
    {
        auto [r1, r2] = query(x << 1, l, mid, lb, rb);
        res.first = max(res.first, r1);
        res.second += r2;
    }
    if (rb > mid)
    {
        auto [r1, r2] = query(x << 1 | 1, mid + 1, r, lb, rb);
        res.first = max(res.first, r1);
        res.second += r2;
    }
    return res;
}
pll query(int l, int r)
{
    pll res = {0, c[l] + c[r]};
    while (tp[l] != tp[r])
    {
        if (dep[tp[l]] > dep[tp[r]])
            swap(l, r);
        auto [r1, r2] = query(1, 1, n, dfn[tp[r]], dfn[r]);
        res.first = max(res.first, r1);
        res.second -= r2;
        r = f[tp[r]];
    }
    if (dep[l] > dep[r])
        swap(l, r);
    auto [r1, r2] = query(1, 1, n, dfn[l], dfn[r]);
    res.first = max(res.first, r1);
    res.second -= r2;
    res.second += fv[l];
    return res;
}
int main()
{
    // freopen("speaker.in", "r", stdin);
    // freopen("speaker.out", "w", stdout);
    read(n, q);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        read(c[i]);
    }
    for (int i = 1, x, y, z; i < n; i++)
    {
        read(x, y, z);
        road[x].emplace_back(y, z);
        road[y].emplace_back(x, z);
    }
    dfs_init(1);
    dfs_build(1, 1);
    build(1, 1, n);
    // for (int i = 1; i <= n; i++)
    // {
    //     printf("%lld%c", mx[i], " \n"[i == n]);
    // }
    for (int i = 1, l, r; i <= q; i++)
    {
        read(l, r);
        auto [r1, r2] = query(l, r);
        printf("%lld\n", r1 + r2);
    }
}