如何将平面上无序的一组点连成一个简单多边形？
如何将平面上无序的一组点连成一个简单多边形？
最近因为实验室的项目要求要写一个小的算法。内容大致是这样的：一组无序点，
1，2，3，4，5，6.然后我按顺时针或者逆时针的顺序将各个点连接起来。我最后要得到的是连接起来后这个多边形的面积。
因为这是在计算机上实现的，计算机是无法自动将这些点一次链接起来的，我觉得首先要解决的第一步应该是乱序点的排序问题，只有解决了乱序点的排序问题才能将无序点变成有序点连接起来，然后进行多边形的计算。
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满足题意的简单多边形（边不自交的多边形）可能有很多个，任意输出一个即可。
补充：针对@cloak shining 最后一个算法，如果选取相邻2个（1和2）点的情况。不管顺时针还是逆时针都不能连成一个多边形的。
按投票排序
按时间排序
4 个回答
不太明白题主的意思，不过：
如果这些点可以形成一个凸多边形的话，就凸包就行，算法多了去了Jarvis March, Graham Scan, Quick Hull, randomized incremental construction……算完也就把顺序排出来了。
如果不是的话，请首先弄明白自己的需求，定义一个良序，因为有很多种方法可以连出一个边不自交的多边形，排序结果不唯一。当然，如果题主不是很介意，生成任意一个不自交的多边形都可以，我提一种简单粗暴的增量算法：
1、取任意不共线的三点连成一个三角形X（在你给的例子中，比如取1-4-5-1）。
2、然后遍历剩余的点（记为P）和已有的多边形X的边（记为AB），若三角形ABP中不含其他点，把点P插入已有的多边形X中（原来的边AB变成AX, XB两条边）。
3、重复步骤2，直到选完所有顶点。
嗯，复杂度是O(N^4)……
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好吧，再提一个更快的分治算法：
1、预处理：先把所有点按x坐标从左到右排序，时间为O(NlgN)。
2、分治：用一条竖线把所有的点切成两半，分别递归执行本算法，得到左右两边的多边形X和Y。
3、合并：把X的最低点重新连到Y的最低点，再把Y的左链的次低点连到X的右链的次低点。（左、右链就是把整个多边形（一个圈）从最高点和最低点断开，拆成两部分啦！）
分 治、合并部分的复杂度是T(N) = 2*T(N/2) + O(N)，也即T(N) = O(NlgN)，算上预处理部分，总的复杂度也是O(NlgN)。（其实合并部分如果做得好可以O(1)完成，因此分治+递归只需要O(N)时间。但由于 预处理就已经需要O(NlgN)的时间了，后面分治做得快也没用啊……）
举个例子，在题主那张图里，递归处理左右两部分，得到多边形X: 1-5-4-1（其中1-5叫左链，5-4-1叫右链）和Y: 6-2-3-6（其中6-2-3叫左链，3-6叫右链）。然后合并：连接5-3（多边形X和Y的最低点，原来的连线5-4自动断开），连接2-4（Y左链 的次低点和X右链的次低点，原来的连线2-3自动断开）。得到的多边形就是1-5-3-6-2-4-1。
得出的多边形大概像是城墙的形状，像是若干个汉字“凹”连接起来的。我画个示意图：
![]()
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合并算法稍有问题，需要再修改，不过大体是对的。
=======================继续更=========================
想到了一个非常简单的算法哈哈哈：
1、对所有点按照x坐标（x相同时按y）从小到大排序，把最左边的点记为A（若有多个取最下方的点），最右边的点记为B（若有多个取最上方的点）。
2、构造上链： 把所有在直线AB上方的点按x坐标（x相同时按y）从小到大连接起来；
3、构造下链：对位于直线AB下方的点同样处理。
最后输出的时候注意把下链颠倒一下（连的时候是从A连到B的，输出的时候从B到A输出）就行。
正确性显而易见：上链内部是边不交的（因为边的端点的x坐标从小到大排列），下链同理，上下链之间也不交（因为分处直线AB两侧，没法交）。
然后就完了！时间复杂度O(NlgN)，而且非常好写！示意图如下：
![]()
如果这些点可以形成一个凸多边形的话，就凸包就行，算法多了去了Jarvis March, Graham Scan, Quick Hull, randomized incremental construction……算完也就把顺序排出来了。
如果不是的话，请首先弄明白自己的需求，定义一个良序，因为有很多种方法可以连出一个边不自交的多边形，排序结果不唯一。当然，如果题主不是很介意，生成任意一个不自交的多边形都可以，我提一种简单粗暴的增量算法：
1、取任意不共线的三点连成一个三角形X（在你给的例子中，比如取1-4-5-1）。
2、然后遍历剩余的点（记为P）和已有的多边形X的边（记为AB），若三角形ABP中不含其他点，把点P插入已有的多边形X中（原来的边AB变成AX, XB两条边）。
3、重复步骤2，直到选完所有顶点。
嗯，复杂度是O(N^4)……
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好吧，再提一个更快的分治算法：
1、预处理：先把所有点按x坐标从左到右排序，时间为O(NlgN)。
2、分治：用一条竖线把所有的点切成两半，分别递归执行本算法，得到左右两边的多边形X和Y。
3、合并：把X的最低点重新连到Y的最低点，再把Y的左链的次低点连到X的右链的次低点。（左、右链就是把整个多边形（一个圈）从最高点和最低点断开，拆成两部分啦！）
分 治、合并部分的复杂度是T(N) = 2*T(N/2) + O(N)，也即T(N) = O(NlgN)，算上预处理部分，总的复杂度也是O(NlgN)。（其实合并部分如果做得好可以O(1)完成，因此分治+递归只需要O(N)时间。但由于 预处理就已经需要O(NlgN)的时间了，后面分治做得快也没用啊……）
举个例子，在题主那张图里，递归处理左右两部分，得到多边形X: 1-5-4-1（其中1-5叫左链，5-4-1叫右链）和Y: 6-2-3-6（其中6-2-3叫左链，3-6叫右链）。然后合并：连接5-3（多边形X和Y的最低点，原来的连线5-4自动断开），连接2-4（Y左链 的次低点和X右链的次低点，原来的连线2-3自动断开）。得到的多边形就是1-5-3-6-2-4-1。
得出的多边形大概像是城墙的形状，像是若干个汉字“凹”连接起来的。我画个示意图：
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合并算法稍有问题，需要再修改，不过大体是对的。
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想到了一个非常简单的算法哈哈哈：
1、对所有点按照x坐标（x相同时按y）从小到大排序，把最左边的点记为A（若有多个取最下方的点），最右边的点记为B（若有多个取最上方的点）。
2、构造上链： 把所有在直线AB上方的点按x坐标（x相同时按y）从小到大连接起来；
3、构造下链：对位于直线AB下方的点同样处理。
最后输出的时候注意把下链颠倒一下（连的时候是从A连到B的，输出的时候从B到A输出）就行。
正确性显而易见：上链内部是边不交的（因为边的端点的x坐标从小到大排列），下链同理，上下链之间也不交（因为分处直线AB两侧，没法交）。
然后就完了！时间复杂度O(NlgN)，而且非常好写！示意图如下：
知乎用户
，理论计算机科学 已毕业
这
问题条件很松，几乎可以随意的弄出一个O(nlogn)的算法吧：先把所有点按x坐标排序，最左边三个点先构成一个三角形。然后按x坐标从小到大继续扫所
有的点。每扫到一个新的点u的时候，判断上一个扫到的点v的两条边pv和qv，哪条边对这个新点可见，必至少有一个可见的边，不妨设为pv，把pv移除然
后把pu和vu加入。正确性证明：p和q都在v的左侧，所以pv和qv的可见区域的并可以覆盖整个x>v.x（v.x指的是点v的横坐标）的半平
面，而u必在x>v.x这个半平面里。所以pv和qv至少有一个边是u可见的。因为pv是可见边，所以px和vx必不和已经有的边相交。
补充一下，
根据这个基于可见性的做法，可以求出所有这个点集可以构成的简单多边形：
修改的地方在“判断上一个扫到的点v”,简单一点的修改方式是判断已经构造出的包含前i个点的简单多边形的每一条边是否对新的点可见。
知乎用户
，能摸摸你的胸嘛
知乎用户
，学之。
仔细看了一下原来是要算面积啊！题主你知道不自交的多边形面积是有公式的么？
对于任意多边形![A_1 A_2 A_3 \cdots A_n]()
，其中![A_k]()
的坐标是![(x_k, y_k)]()
，那么其面积：
![\[
S = \frac{1}{2} \biggl| \begin{smallmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & x_1 \\
y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n & y_1
\end{smallmatrix} \biggl| = \frac{1}{2} \biggl| \sum_{i=0}^{n-1}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) \biggl|
\]]()
Yeah!! O(1)达成！
======================分割线=============================
竟然有我都会的算法题！热泪盈眶地谢邀！
1. 将所有点随便什么顺序命名为![A_1, A_2, \cdots A_n]()
2. 找到所有点的中点![O]()
作为原点
3. 以![OA_1]()
为正半轴，依次算出![\angle A_2OA_1,\angle A_3OA_1, \cdots \angle A_nOA_1]()
的大小。
4. 随便什么排序法对以上角的大小进行排序。
对于任意多边形
Yeah!! O(1)达成！
======================分割线=============================
竟然有我都会的算法题！热泪盈眶地谢邀！
1. 将所有点随便什么顺序命名为
2. 找到所有点的中点
3. 以
4. 随便什么排序法对以上角的大小进行排序。
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