[题记-数学-最大公约数]水壶问题-leetcode

题目：水壶问题

有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。

你允许：

• 装满任意一个水壶
• 清空任意一个水壶
• 从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True

示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

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数学方法用到一个定理定理：贝祖定理

用简单的话说一下这个定理就是：
　　存在这么一个式子： ax + by = z，如果这个式子有解，那么z一定是x，y的最大公约数的倍数。

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回来看我们的题目：
当然可以用搜索的方式去解，这里推荐用数学方法(来自官方解答)。

通过题目要求，我们可以认为每次操作只会让壶里的水增加x或y，减少x或y。
那么如果往没满的壶中加水或者排空呢？

1. 根据题目要求不可能会出现两个桶有水并且都不满
2. 对一个不满的水壶加满是没有意义的：如果另一个壶是空的，这个操作等于从初始状态加满这壶水；如果另一个壶是满的，这个操作等于从初始状态把两个壶都加满。
3. 对一个不满的水壶清空也是没有意义的：如果另一个壶是空的，这个操作就等于回到初始状态；如果另一个壶是满的，这个操作等于从初始状态将另一个壶加满。

 

这样，我们就可以认为每次操作只会给水的总量带来x，y的变化，那么我们可以吧目标改为：

找到一对a，b使得：ax + by = z

如果 z <= x + y 我们的目标就可以达成

 

原因是：

1. 若 a >= 0,b >= 0 显然可以达成目标
2. 若 a < 0 可以进行以下操作：
   • 给 y 壶倒水
   • 把 y 壶的水倒入 x 壶中，如果 y 壶不为空，那就将 x 壶清空， y 壶继续往 x 壶倒水，重复以上步骤，直到 x 壶进行了 a 次清空，y 壶进行了 b 次倒水。
3. 若 b < 0 同2。

由贝祖定理得出：ax + by = z，如果这个式子有解，那么z一定是x，y的最大公约数的倍数。

上代码(c)：

bool canMeasureWater(int x, int y, int z){
    if( x + y < z ) return false;
    if( x == 0|| y == 0 ) {
        if( z == 0 ) return true;
        else if( x + y == z ) return true;
        else return false;
    }
    //寻找最大公约数
    while( y > 0 ){
        int tmp = x;
        x = y;
        y = tmp%y;
    }
    if( z%x == 0 ) return true;
    else return false;
}

 

2020-03-21-14:24:05