数字图像计算1

《数字图像处理》1-5章核心计算知识点详解（附手把手算例）

第2章 数字图像处理基础：颜色模型与采样

1. RGB与CMYK颜色转换

   • 公式：
     \( K = \min(1-R, 1-G, 1-B) \)
     \( C = \frac{1-R-K}{1-K}, \quad M = \frac{1-G-K}{1-K}, \quad Y = \frac{1-B-K}{1-K} \)
   • 算例：若RGB=(0.8, 0.2, 0.3)，则：
     \(K = \min(1-0.8, 1-0.2, 1-0.3) = 0.2\)
     \(C = \frac{1-0.8-0.2}{1-0.2} = 0\)，\(M = \frac{1-0.2-0.2}{0.8} = 0.75\)，\(Y = \frac{1-0.3-0.2}{0.8} = 0.625\)
   • 类比：RGB是发光色（如电视），CMYK是印刷色（如打印机），转换时相当于“用墨水覆盖白纸”，K代表黑色墨水的用量。

2. YIQ与RGB转换

   • 矩阵公式：
     \( \begin{bmatrix} Y \\ I \\ Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.299 & 0.587 & 0.114 \\ 0.596 & -0.275 & -0.321 \\ 0.212 & -0.523 & 0.311 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R \\ G \\ B \end{bmatrix} \)
   • 算例：RGB=(1, 0, 0)（红色），则：
     \(Y = 0.299×1 + 0.587×0 + 0.114×0 = 0.299\)
     \(I = 0.596×1 - 0.275×0 - 0.321×0 = 0.596\)
     \(Q = 0.212×1 - 0.523×0 + 0.311×0 = 0.212\)
   • 类比：Y是亮度（黑白电视信号），I和Q是色彩信息，类似把彩色照片拆成亮度和色调两部分。

3. 采样定理：奈奎斯特频率计算

   • 公式：最低采样频率 \(\omega_s = 2\omega_m\)，其中\(\omega_m\)是信号最高频率。
   • 算例：若图像中细节最高频率为100Hz，则采样频率至少为200Hz。
   • 类比：用相机拍旋转风扇，快门速度不够会拍模糊，采样定理就是“快门速度至少是风扇转速的2倍才能看清叶片”。

第3章 图像基本运算：几何变换

1. 齐次坐标与旋转矩阵

   • 旋转矩阵（绕原点逆时针旋转\(\theta\)）：
     \( T = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
   • 算例：点(2, 3)绕原点旋转90°，齐次坐标为\(\begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix}\)，变换后：
     \( \begin{bmatrix} \cos90° & \sin90° & 0 \\ -\sin90° & \cos90° & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix} \)
     即新坐标为(3, -2)。
   • 类比：旋转矩阵像“转盘”，每个点按角度规则移动，齐次坐标的第三维1是“固定点”。

2. 错切变换

   • X方向错切矩阵：
     \( T = \begin{bmatrix}1 & d_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \)
   • 算例：点(1, 1)进行\(d_x=0.5\)的错切，变换后：
     \( \begin{bmatrix}1 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1+0.5×1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1.5 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \)
     图像横向倾斜，类似“推箱子时箱子底部不动，顶部被推开”。

第4章 图像正交变换：傅里叶变换

1. 离散傅里叶变换（DFT）

   • 公式：
     \( F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j2\pi(ux/M + vy/N)} \)
   • 算例：简化为1D情况，f(x)=[1, 2, 3, 4]，N=4，计算u=1时：
     \( F(1) = 1×e^{-j2\pi×1×0/4} + 2×e^{-j2\pi×1×1/4} + 3×e^{-j2\pi×1×2/4} + 4×e^{-j2\pi×1×3/4} \)
     \( = 1 + 2×(-j) + 3×(-1) + 4×j = (1-3) + j(4-2) = -2 + 2j \)
   • 类比：DFT像“分解音乐和弦”，把图像从像素空间分解成不同频率的“波形”组合。

2. 卷积定理

   • 公式：时域卷积等于频域乘积，即\(f*g \leftrightarrow F(u, v)G(u, v)\)。
   • 应用：高斯滤波在时域是卷积运算，在频域直接乘高斯函数频谱，计算更快。

第5章 图像增强：灰度变换与直方图

1. 线性灰度变换

   • 公式：\(g(x,y) = a·f(x,y) + b\)，其中\(a\)是斜率，\(b\)是偏移。
   • 算例：若原图灰度范围[0, 127]，想拉伸到[0, 255]，则\(a=255/127≈2.0\)，\(b=0\)，如像素值50变为\(2×50=100\)。
   • 类比：调手机屏幕亮度，\(a>1\)是提亮，\(a<1\)是调暗，\(b\)是偏色调整。

2. 直方图均衡化

   • 步骤：
     1. 统计各灰度级频率\(p(r_k)=n_k/N\)；
     2. 计算累积分布\(s_k = \sum_{j=0}^k p(r_j)\)；
     3. 映射到新灰度级\(g_k = \lfloor s_k×(L-1) \rfloor\)，\(L\)是灰度级总数（如256）。
   • 算例：假设图像灰度分布为：
     \( \begin{matrix} r_k: & 0 & 1 & 2 \\ n_k: & 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix}, \quad N=6 \)
     则\(p(0)=2/6=1/3\)，\(p(1)=3/6=1/2\)，\(p(2)=1/6\)
     累积分布：
     \(s_0=1/3\)，\(s_1=1/3+1/2=5/6\)，\(s_2=5/6+1/6=1\)
     映射到[0,2]灰度级（L=3）：
     \(g_0=\lfloor 1/3×2 \rfloor=0\)，\(g_1=\lfloor 5/6×2 \rfloor=1\)，\(g_2=\lfloor 1×2 \rfloor=2\)
   • 类比：把“高矮不一的人群”按身高排序后均匀分布，让每个身高段人数相近，图像对比度更均匀。

3. 同态滤波

   • 流程：
     1. 取对数：\(z(x,y) = \ln f(x,y) = \ln i(x,y) + \ln r(x,y)\)；
     2. 傅里叶变换：\(Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v)\)；
     3. 高通滤波：\(S(u,v) = H(u,v)·Z(u,v)\)，其中\(H(u,v)\)提升高频（反射分量）、压制低频（光照分量）；
     4. 逆傅里叶变换+指数变换：\(g(x,y) = e^{\text{IDFT}(S(u,v))}\)。
   • 类比：处理阴天拍摄的照片，同态滤波像“分开调整光线和物体颜色”，压制全局光照不均，增强物体细节。

计算类选择题及分步解析

1. RGB=(0, 0, 255)转换为CMYK是？

A. (255, 255, 0, 0)
B. (0, 0, 255, 0)
C. (255, 255, 0, 255)
D. (0, 0, 0, 255)

解析：选B。RGB=(0,0,255)是蓝色，计算：
\(K = \min(1-0, 1-0, 1-1) = 0\)（因为B=255→1-B=0），
\(C=(1-0-0)/1=1\)，\(M=(1-0-0)/1=1\)，\(Y=(1-1-0)/1=0\)，
转换为0-255范围：C=255, M=255, Y=0, K=0，即(255,255,0,0)，但选项中B是(0,0,255,0)？哦，这里可能混淆了0-1和0-255的表示，正确步骤应为：
RGB值范围0-255，先归一化到0-1：R=0/255=0, G=0/255=0, B=255/255=1，
计算K=min(1-0,1-0,1-1)=0，
C=(1-0-0)/(1-0)=1→255，M=(1-0-0)/(1-0)=1→255，Y=(1-1-0)/(1-0)=0→0，K=0→0，
所以CMYK=(255,255,0,0)，对应选项A。之前的选项可能排版错误，正确选A。

2. 点(3, 4)绕原点旋转45°，新坐标是？

A. (3√2, 4√2)
B. (-√2/2, 7√2/2)
C. (7√2/2, √2/2)
D. (√2/2, -7√2/2)

解析：选C。旋转矩阵\(\cos45°=\sin45°=√2/2\)，
齐次坐标变换：
\( \begin{bmatrix} √2/2 & √2/2 & 0 \\ -√2/2 & √2/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 \\ 4 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3√2/2 + 4√2/2 \\ -3√2/2 + 4√2/2 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7√2/2 \\ √2/2 \\ 1\end{bmatrix} \)
即新坐标(7√2/2, √2/2)，选C。

3. 直方图均衡化中，累积分布函数的作用是？

A. 压缩高频噪声
B. 将灰度分布转为均匀分布
C. 增强边缘
D. 降低对比度

解析：选B。累积分布函数将原始灰度的概率分布映射为均匀分布，就像把“左密右疏”的直方图拉平，增强全局对比度。

计算通关秘籍

1. 颜色模型转换：记住RGB是加色模型（发光），CMYK是减色模型（印刷），YUV/YIQ用于视频传输，HSI更符合人眼感知。
2. 几何变换矩阵：旋转、平移、缩放都可用齐次坐标矩阵表示，注意变换顺序（先旋转再平移）。
3. 直方图均衡化：关键是计算累积概率并映射，步骤虽多但逻辑清晰，可通过小例子手动推导加深理解。
4. 同态滤波：分步骤记忆“对数→傅里叶→滤波→逆傅里叶→指数”，类比“分解光照和反射”来理解原理。

动手算一遍小例子（如3×3像素的直方图均衡化），比背公式更有效哦！