机器学习基石12-Nonlinear Transformation

注：
文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程。
笔记原作者：红色石头
微信公众号：AI有道

上一节课介绍了分类问题的三种线性模型，可以用来解决binary classification和multiclass classification问题。本节课主要介绍非线性的模型来解决分类问题。

一、Quadratic Hypothesis

之前介绍的线性模型，在2D平面上是一条直线，在3D空间中是一个平面。数学上，我们用线性得分函数\(s\)来表示：\(s=w^Tx\) 。其中，\(x\)为特征值向量，\(w\)为权重，\(s\)是线性的。

线性模型的优点就是，它的VC Dimension比较小，保证了\(E_{in}\approx E_{out}\)。但是缺点也很明显，对某些非线性问题，可能会造成\(E_{in}\)很大，虽然\(E_{in}\approx E_{out}\)，但是\(E_{out}\)也很大，分类效果不佳。
为了解决线性模型的缺点，我们可以使用非线性模型来进行分类。例如数据集D不是线性可分的，而是圆形可分的，圆形内部是正类，外面是负类。假设它的hypotheses可以写成：$$h_{SEP}(x)=sign(-x^2_1-x2_2+0.6)$$基于这种非线性思想，之前讨论的PLA、Regression问题都可以有非线性的形式进行求解。

下面介绍如何设计这些非线性模型的演算法。还是上面介绍的平面圆形分类例子，它的\(h(x)\)的权重\(w_0=0.6\), \(w_1-1=\), \(w_2=-1\)，但是\(h(x)\)的特征不是线性模型的\((1,x_1,x_2)\)，而是\((1,x^2_1,x^2_2)\)。令\(z_0=1\), \(z_1=x^2_1\), \(z_2=x^2_2\)，那么\(h(x)\)变成：$$h(x)=sign(\tilde{w}_0 z_0+\tilde{w}_1 z_1+\tilde{w}_2z_2)=sign(0.6z_0-1z_1-1z_2)=sign(\tilde{w}^Tz)$$ 这种\(x_n\)到\(z_n\)的转换可以看成是\(x\)空间的点映射到\(z\)空间中去，而在\(z\)域中，可以用一条直线进行分类，也就是从\(x\)空间的圆形可分映射到\(z\)空间的线性可分。\(z\)域中的直线对应于\(x\)域中的圆形。因此，我们把这个过程称之为特征转换（Feature Transform）。通过这种特征转换，可以将非线性模型转换为另一个域中的线性模型。

已知\(x\)域中圆形可分在\(z\)域中是线性可分的，那么反过来，如果在\(z\)域中线性可分，是否在\(x\)域中一定是圆形可分的呢？答案是否定的。由于权重向量\(w\)取值不同，\(x\)域中的hypothesis可能是圆形、椭圆、双曲线等等多种情况。

目前讨论的x域中的圆形都是圆心过原点的，对于圆心不过原点的一般情况， \(x_n\)到\(z_n\)映射公式包含的所有项为：$$\Psi_2(x)=(1,x_1,x_2,x^2_1,x_1x_2,x2_2)$$ 也就是说，对于二次hypothesis，它包含二次项、一次项和常数项\(1\)，\(z\)域中每一条线对应\(x\)域中的某二次曲线的分类方式，也许是圆，也许是椭圆，也许是双曲线等等。那么\(z\)域中的hypothesis可以写成：

二、Nonlinear Transform

上一部分我们定义了什么了二次hypothesis，那么这部分将介绍如何设计一个好的二次hypothesis来达到良好的分类效果。那么目标就是在\(z\)域中设计一个最佳的分类线。

其实，做法很简单，利用映射变换的思想，通过映射关系，把\(x\)域中的最高阶二次的多项式转换为\(z\)域中的一次向量，也就是从quardratic hypothesis转换成了perceptrons问题。用\(z\)值代替\(x\)多项式，其中向量\(z\)的个数与\(x\)域中\(x\)多项式的个数一致（包含常数项）。这样就可以在\(z\)域中利用线性分类模型进行分类训练。训练好的线性模型之后，再将\(z\)替换为\(x\)的多项式就可以了。具体过程如下：

整个过程就是通过映射关系，换个空间去做线性分类，重点包括两个：

• 特征转换
• 训练线性模型

其实，我们以前处理机器学习问题的时候，已经做过类似的特征变换了。比如数字识别问题，我们从原始的像素值特征转换为一些实际的concrete特征，比如密度、对称性等等，这也用到了feature transform的思想。

三、Price of Nonlinear Transform

若\(x\)特征维度是\(d\)维的，也就是包含\(d\)个特征，那么二次多项式个数，即\(z\)域特征维度是：$$\tilde{d}=1+C^1_d+C2_d+d=\frac{d(d+3)}{2}+1$$如果\(x\)特征维度是2维的，即\((x_1,x_2)\)，那么它的二次多项式为\((1,x_1,x_2,x^2_1,x_1x_2,x^2_2)\)，有6个。
现在，如果阶数更高，假设阶数为\(Q\)，那么对于\(x\)特征维度是\(d\)维的，它的\(z\)域特征维度为：$$\tilde{d}=C^Q_{Q+d}=Cd_{Q+d}=O(Q^d)$$由上式可以看出，计算\(z\)域特征维度个数的时间复杂度是\(Q\)的\(d\)次方，随着\(Q\)和\(d\)的增大，计算量会变得很大。同时，空间复杂度也大。也就是说，这种特征变换的一个代价是计算的时间、空间复杂度都比较大。

另一方面，\(z\)域中特征个数随着\(Q\)和\(d\)增加变得很大，同时权重\(w\)也会增大，即自由度增加，VC Dimension增大。令\(z\)域中的特征维度是\(1+\tilde{d}\)，则在\(z\)域中，任何\(\tilde{d}+2\)的输入都不能被shattered；同样，在\(x\)域中，任何的\(\tilde{d}+2\)输入也不能被shattered。\(\tilde{d}+1\)是VC Dimension的上界，如果\(\tilde{d}+1\)很大的时候，相应的VC Dimension就会很大。根据之前章节课程的讨论，VC Dimension过大，模型的泛化能力会比较差。

下面通过一个例子来解释为什么VC Dimension过大，会造成不好的分类效果：

上图中，左边是用直线进行线性分类，有部分点分类错误；右边是用四次曲线进行非线性分类，所有点都分类正确，那么哪一个分类效果好呢？单从平面上这些训练数据来看，四次曲线的分类效果更好，但是四次曲线模型很容易带来过拟合的问题，虽然它的\(E_{in}\)比较小，从泛化能力上来说，还是左边的分类器更好一些。也就是说VC Dimension过大会带来过拟合问题，\(\tilde{d}+1\)不能太大了。
那么如何选择合适的\(Q\)，来保证不会出现过拟合问题，使模型的泛化能力强呢？一般情况下，为了尽量减少特征自由度，我们会根据训练样本的分布情况，人为地减少、省略一些项。但是，这种人为地删减特征会带来一些“自我分析”代价，虽然对训练样本分类效果好，但是对训练样本外的样本，不一定效果好。所以，一般情况下，还是要保存所有的多项式特征，避免对训练样本的人为选择。

四、Structured Hypothesis Sets

下面，我们讨论一下从\(x\)域到\(z\)域的多项式变换。首先，如果特征维度只有\(1\)维的话，那么变换多项式只有常数项：$$\phi_0(x)=(1)$$
如果特征维度是两维的，变换多项式包含了一维的\(\phi_0(x)\): $$\phi_1(x)=(\phi_0(x),x_1,x_2,...,x_d)$$
如果特征维度是三维的，变换多项式包含了二维的\(\phi_1(x)\): $$\phi_2(x)=(\phi_1(x),x^{2_1,x_1x_2,...,x}2_d)$$
以此类推，如果特征维度是\(Q\)次，那么它的变换多项式为: $$\phi_Q(x)=(\phi_{Q-1}(x),x^Q_1,x1x_2,...,x^Q_d)$$
那么对于不同阶次构成的hypothesis有如下关系：$$H \subset H_{\phi_1} \subset H_{\phi_2} \subset \cdots \subset H_{\phi_Q} $$
我们把这种结构叫做Structured Hypothesis Sets：

那么对于这种Structured Hypothesis Sets，它们的VC Dimension满足下列关系：$$d_{VC}(H_0)\leq d_{VC}(H_1)\leq d_{VC}(H_2)\leq \cdots \leq d_{VC}(H_Q)$$
而它们的\(E_{in}\)满足下列关系：$$E_{in}(g_0)\geq E_{in}(g_1) \geq E_{in}(g_2) \geq \cdots \geq E_{in}(g_Q)$$

从上图中也可以看到，随着变换多项式的阶数增大，虽然\(E_{in}\)逐渐减小，但是model complexity会逐渐增大，造成\(E_{out}\)很大，所以阶数不能太高。

那么，如果选择的阶数很大，确实能使\(E_{in}\)接近于\(0\)，但是泛化能力通常很差，我们把这种情况叫做tempting sin。所以，一般最合适的做法是先从低阶开始，如先选择一阶hypothesis，看看\(E_{in}\)是否很小，如果\(E_{in}\)足够小的话就选择一阶，如果\(E_{in}\)大的话，再逐渐增加阶数，直到满足要求为止。也就是说，尽量选择低阶的hypothes，这样才能得到较强的泛化能力。

五、总结

这节课主要介绍了非线性分类模型，通过非线性变换，将非线性模型映射到另一个空间，转换为线性模型，再来进行线性分类。本节课完整介绍了非线性变换的整体流程，以及非线性变换可能会带来的一些问题：时间复杂度和空间复杂度的增加。最后介绍了在要付出代价的情况下，使用非线性变换的最安全的做法，尽可能使用简单的模型，而不是模型越复杂越好。