P9869 [NOIP2023] 三值逻辑

赛时做法。

钦定 \(T\) 为 1，\(F\) 为 -1，\(U\) 为 0。

发现每个值都有两个状态，它本身及其取反。

在 \(m\) 个操作完后我们对每个值的状态一共有三种情况：

1. 没有对这个值进行操作，不知晓任何信息。

2. 这个值与另外一个值有关，能从另外一个值推出当前值。

3. 已经确定是 \(T/F/U\)。

考虑定义数组 \(ok_x\) 表示 \(x\) 这个值有没有被确定，如果被确定了则将其存在 \(val_x\) 中。

对于第二种情况，定义数组 \(p_x\) 与 \(sig_x\) 表示 \(x\) 的值与 \(p_x\) 的值有关，\(sig_x = 1/-1\) 表示 \(x\) 是 / 否需要对 \(p_x\) 取反。

此时很容易处理出输入部分的代码。

while (m --) {
	char op;
	int x, y;
	cin >> op;
	if (op == '+') {
		cin >> x >> y;
		if (ok[y]) {
			ok[x] = true;
			val[x] = val[y];
		} else {
			ok[x] = false;
			p[x] = p[y];
			sig[x] = sig[y];
		}
	} else if (op == '-') {
		cin >> x >> y;
		if (ok[y]) {
			ok[x] = true;
			val[x] = -val[y];
		} else {
			ok[x] = false;
			p[x] = p[y];
			sig[x] = -sig[y];
		}
	} else {
		cin >> x;
		ok[x] = true;
		if (op == 'U') {
			val[x] = 0;
		} else if (op == 'T') {
		val[x] = 1;
		} else {
			val[x] = -1;
		}
	}
}

考虑如何对答案进行计数。

首先显然的是如果一个值已经确定为 \(U\)，那么它一定得是 \(U\)，此时值与它有关的不管需不需要取反都必须是 \(U\)。

其次如果经过操作后，我们得到了 \(x\) 最后的值是它本身取反，那也一定是 \(U\)，因为只有 \(U\) 取反后还是本身，此时与它和它取反相等的值都要是 \(U\)。

对于一个 \(x\) 等于另外一个数然而另外一个数确定为 \(u\)

不难得到别的情况都有一种方案使得不是 \(U\)。

如何处理和某个值相等 / 相反的值？

这是扩展域并查集的经典问题。

让 \(x\) 取反在并查集中变成 \(x+n\)。

如果一个 \(x\) 必须和 \(y\) 相等，那么 \(x\) 和 \(y\) 取反后也要相等，所以在并查集中合并 \(x,y\) 和 \(x+n,y+n\)。

如果一个 \(x\) 要和 \(y\) 取反后相等，那么 \(x\) 取反后和 \(y\) 相等，所以合并 \(x,y+n\) 和 \(x+n,y\)。

注意计算答案时一个集合的答案只能算一次，但一个集合中可能有多个数都满足，所以算完一个集合的答案后要把这个集合的 \(siz\) 清空。

让一个数 \(x\) 的答案只在他本身取到而不在取反取到，让 \(x+n\) 的大小一开始设为 0。

代码思路比较清晰，应该有比我更简洁的写法。

int find(int x) {
	return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

void merge(int x, int y) {
	x = find(x), y = find(y);
	if (x == y) return;
	fa[x] = y, siz[y] += siz[x];
}

void add(int &res, int x) {
	x = find(x);
	res += siz[x];
	siz[x] = 0;
}

void solve() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		ok[i] = false, val[i] = 0;
		p[i] = i, sig[i] = 1;
	}
	for (int i = 1; i <= n * 2; i ++) {
		fa[i] = i, siz[i] = i <= n;
	}

	while (m --) {
		char op;
		int x, y;
		cin >> op;
		if (op == '+') {
			cin >> x >> y;
			if (ok[y]) {
				ok[x] = true;
				val[x] = val[y];
			} else {
				ok[x] = false;
				p[x] = p[y];
				sig[x] = sig[y];
			}
		} else if (op == '-') {
			cin >> x >> y;
			if (ok[y]) {
				ok[x] = true;
				val[x] = -val[y];
			} else {
				ok[x] = false;
				p[x] = p[y];
				sig[x] = -sig[y];
			}
		} else {
			cin >> x;
			ok[x] = true;
			if (op == 'U') {
				val[x] = 0;
			} else if (op == 'T') {
				val[x] = 1;
			} else {
				val[x] = -1;
			}
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (ok[i]) continue;
		int x = p[i];
		if (sig[x] == 1) {
			merge(i, x), merge(i + n, x + n);
		} else {
			merge(i + n, x), merge(x + n, i);
		}
	}

	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (ok[i] && val[i] == 0) {
			add(res, i), add(res, i + n);
		} else if (find(i) == find(i + n)) {
			add(res, i);
		}
	}

	cout << res << "\n";
}