9月杂题乱做
一些比较有教育意义的题
难度由低到高分别为 \(1\) 到 \(10\)。
难度：\(5\)
首先考虑只出现两次怎么做，显然就是区间不能互相包含。然后是四次，手玩发现只有 \((1,3) \And (2,4)\) 和 \((1, 2) \And (3, 4)\) 两种，那么考虑 2-SAT，直接像对应区间连边，考虑主席树优化建图即可。
P7353 [2020-2021 集训队作业] Tom & Jerry
难度：\(6\)
考虑 Tom 需要如何走才能限制 Jerry：每次走到一个 Jerry 方向的割点，这样才能缩小 Jerry 的行走范围。考虑如何刻画，我们建出圆方树，直接对着这个限制 DP，然后换根即可。
P12077 [OOI 2025] Strong Connectivity Strikes Back
难度：\(6.5\)
你发现对一个图缩点之后的形态是 sub4，每个点内的形态是 sub6 你分别考虑这俩怎么做。
先考虑 sub4 如何做：转化成至少保留多少边使得任意两点的可达性不变，对于每个边 \(u \rightarrow v\)，若不存在另一个边 \(w \rightarrow v\) 使得 \(u \rightsquigarrow w\)，则保留 \(u \rightarrow v\)。
再考虑 sub6 如何做：发现当集合 \(E\) 中存在一个简单环或者是自环的时候 \(E\) 不合法，直接对着这个做就行。
难度：\(5\)
同样的 trick 有 P7115 [NOIP2020] 移球游戏 ，你先会 \(S = 2\) 的做法，答案要求每种元素在两列中出现的次数差 \(\leq 1\)，考虑图论构造成欧拉路径，对于其中每个点都能满足出度与入度不超过 \(1\)，你直接在每一行对两个数连边，最后给他定向。然后 \(S = 2 ^ k\) 你就先把所有数分成两种颜色，然后分开让他们的次数差小于 \(1\)，再分治下去。
难度：\(?\)
这很诡异你知道吗？前 \(K\) 个跑 DP，后面的贪心。
难度：\(5\)
首先不考虑 \(1 \leq a_{i,j} \leq 1 \times 10^6\)，可以 \(O(nm)\) 构造出一组解，考虑在这个基础上调整一下。考虑如何调整，我们可以给一行或者一列依次进行 \(+x,-x,+x,\dots\) 的操作，我们设 \(r_i\) 和 \(c_i\) 表示加在行、列上的数，然后能写出一些不等式，那肯定考虑差分约束。但是有形如 \(x+y\) 的形式我们显然无法差分约束，我们通过调整一些正负号如：对于所有偶数的 \(i\)，将 \(ri\) 取相反数，对于所有奇数的 \(j\)，将 \(cj\) 取相反数。然后差分约束构造方案即可。
难度：\(1\)
直接给每个数的权值设为 \(2^{a_i}\)，能轻松算出一段连续的数的哈希值，直接线段树维护。
难度：\(2.5\)
直接枚举 \(AB\) 的长度，复杂度是 \(\sum \limits_{i=1}^n \frac{n}{i} = O(n \ln n)\) 的，然后考虑对合法的 \(F(A) \leq F(C)\) 计数，注意到 \(F\) 函数的值域为 \(26\)，前缀和一下即可。
P15762 [JAG 2025 Summer Camp #1] Inside Yamanote
难度：\(6\)
完全不会线性规划。道路可以随便配等价于我们可以给 \(d_i\) 随便选一个数，但是要满足 \(\left\vert d_i - d_{(i+1) \bmod n}\right\vert \leq L_i\)，让我们最大化 \(\sum s_i d_i\) 其中 \(s_i\) 为出入度之差，注意到 \(\sum s_i = 0\) ，由于我们有一个类似差分的限制，考虑设 \(x_i = d_i - d_{i - 1}\)，\(d_0\) 可以是随意的一个数，我们可以整体加减 \(d_i\) 答案不变。我们重写一下目标函数， \(C_j = \sum_{i=0}^j c_i\) 是 \(c\) 的前缀和。令 \(a_j = -C_j\) 则目标变为最大化
$ \sum_{j=0}^{N-1} a_j \delta_j$
约束为 \(|\delta_j| \le L_j\) 且 \(\sum \delta_j = 0\)。
引入拉格朗日乘子 \(\lambda\) 处理 \(\sum \delta_j = 0\)，等价于最大化
对于每个 \(j\)，在 \([-L_j, L_j]\) 内选择 \(\delta_j\) 使 \((a_j + \lambda) \delta_j\) 最大：
- 若 \(a_j + \lambda > 0\)，取 \(\delta_j = L_j\)；
- 若 \(a_j + \lambda < 0\)，取 \(\delta_j = -L_j\)。
为了使 \(\sum \delta_j = 0\)，需要选择 \(\lambda\) 使得
也就是说，\(-\lambda\) 是 \(L_j\) 关于 \(a_j\) 的加权中位数。令 \(\lambda^*\) 为该中位数（即 \(a_j\) 的加权中位数），则最大值为
因此，对于任意给定的环形铁路长度 \(L_i\)，最大声望就是
最后直接用树状数组维护加权中位数和答案即可。
难度：\(3\)
直接二分答案，对于一个 \(S\) 的后缀 \(S_i\)，由 SA 的性质，这个点要么是后缀数组中 \(S_i\) 对应的位置前面的最后一个 \(T_i\)，要么是这个位置后面的第一个 \(T_j\)。对于查询 \([l,r]\)，只需要二分答案 \(x\)，当 \([l,r−x+1]\) 中的最大值大于等于 \(x\) 的时候就判定合法。
难度：\(6.5\)
用 SA 做对于我这种没有码力的人来说完全就是在自残，所以给到 \(6\)。
我们考虑 \(T\) 的每一个后缀 \(T_i\)，注意到和 \(T_i\) 的 LCP 为 \(L\) 的是一段区间，如果这一段区间有 \([l, r]\) 中的一个后缀，那么 \(L\) 就是合法的。那我们对按排名每一个 \(T\) 的后缀求出来这么一个 \(L\)，统计新增加的子串个数即可。和 height 数组类似，排名靠后一个 \(L\) 的长度也至多减少 \(1\)，直接暴力扩展就可以。所以你需要写一个主席树判断是否存在合法的后缀，写一个 ST 表求 LCP。
难度：\(3\)
\(a_i\) 表示以 \(i\) 结尾有多少个 \(AA\) 串，\(b_i\) 表示以 \(i\) 开头有多少个 \(AA\) 串，最后答案就是 \(\sum \limits_{i=1}^{n-1} a_i b_{i + 1}\)。考虑怎么求 \(a_i\)。枚举形如 \(A\) 串的长度 \(len\)，然后每 \(len\) 个位置设置一个观察点。一个 \(AA\) 必然会经过两个观察点，我们直接对观察点求 LCP 和 LCS，然后对于相当于对一段区间加，我们直接差分一下即可算出答案，感觉这个题有点怪。
难度：\(4\)
题解区都在干什么，不管了直接二分哈希。我们这里只讨论奇回文串，偶回文是同理的。我们对每一个回文中心求出第一个不是回文的位置，然后跳过他，那么剩下的都是这个不同位置产生的贡献。如果一个位置修改也会产生相应的代价，即破坏原有的回文串。我们直接差分一下就好。
难度：\(6.5\)
难度：\(6.5\)
不知道为什么大黑题场上被过穿了，难道真的是我太菜了？
显然是枚举第一个不同的位置，设当前已经有 \(a\) 个 (，\(b\) 个 )，肯定是把当前的一个 ) 改成 (，然后后面随便搞。那我们肯定上经典结论得到当前这一步的答案是
令 \(x = i - a - 1\) 有：
第二项为：
记 \(f(i,j) = \sum\limits_{x=0}^j \binom{2x + i}{x}\)
其实就是要求
对于相邻的前缀，\(a,b\) 的变化为 \(O(1)\) 的，我们考虑莫队转移求 \(f(i,j)\)。
如果 \(j\) 变的话转移是平凡的，考虑 \(i\) 的变化。
注意到：
\(\begin{aligned} f(i, j) + f(i + 2, j) & = \sum\limits_{x=0}^j \dbinom{2x+i}{x}+\sum\limits_{x=0}^j \dbinom{2x+i + 2}{x} \\ & = \sum\limits_{x=0}^j \left[ \dbinom{2x + i}{x} + \dbinom{2x + i}{x - 1} \right] + \dbinom{2j + i + 2}{j} \\ &= \sum\limits_{x=0}^{j} \dbinom{2x + i + 1}{x} + \dbinom{i+2j+2}{j} \\ &= f(i+1,j) + \dbinom{i+2j+2}{j}\end{aligned}\)
如何我们只需要维护 \(f(i,j)\) 和 \(f(i + 1, j)\)，然后就做完了，到现在也不知道是怎么注意到的。。
难度：\(5.5\)
朗读题解。
我们钦定 \(L\) 为 \([1,N]\)，\(R\) 为 \((N, N +K]\)，\(M\) 为 \((N + K, 2N + K]\) 所以合法的序列为一堆 \(M\) 将序列划分成 \(LRLRLR\) 或者 \(RLRLRL\) 交错的样子，设有 \(p\) 个 \(L\)，\(q\) 个 \(R\) 和 \(s\) 个 \(M\)。
设一段中有 \(x\) 个 \(L\)，\(y\) 个 \(R\)，方案数的 GF 为：\(G(x,y)=1+x+y+2xy+x^2y+xy^2+\dots\)
写成封闭形式就是 $$\frac{(1+x)(1+y)}{1-xy}$$
合法的方案数就是 \([x^p y^q]G(x,y)^{s+1}\)
所以方案数为
然后就能直接做了，时间复杂度 \(O(N + K^3)\)
难度： \(3\)
建议降蓝或者青，基本上一眼秒了。
依旧考虑第一个不同的位置 \(i\)。在这一位有 \(x\) 个合法位置，会对前 \(i-1\) 出现的数 \(ans \leftarrow ans + x \dbinom{n -i}{k-i}(k-i)!\)，对于没出现的数 \(t\) 且 \(t<p_i\) 的贡献为 \(ans \leftarrow ans + \dbinom{n -i}{k-i}(k-i)! + (x-1)\dbinom{n-i-1}{k-i-1}(k-i)!\) 对于另外的贡献为 \(ans \leftarrow ans + x \dbinom{n-i-1}{k-i-1} (k-i)!\)
对于第一部分的直接差分一下，后面的可以直接树状数组维护。
难度：\(2.5\)
考虑中间的四个角，让他们左右不重叠，然后减去对角不重叠的情况。
答案为:
难度：\(2.5\)
第一次 AK ABC 喵，板子题，树上莫队 + 值域分块即可。
难度：\(4.5\)
结论就是每个文本串包含的不同单词数之和级别为 \(O(L^{\frac{4}{3}})\) 的，所以我们在每一次 AC 自动机上跳 fail 的时候记录一下，如果他的父亲被经过了，就不再经过了。最后拓扑排序一下即可。
浙公网安备 33010602011771号