P3188 做题笔记

题目

HN 省选作恶多端

观察

拿到题面，定睛一看：欸，这不是裸的 01 背包吗。但是这是道紫题，还是在省选的赛场上，应该有蹊跷。再一看到数据范围

\(1 \le W, w_i, v_i \le 2^{30}\)

这么大，是人能做的吗？

观察题目，注意到

保证 \(w_i = a * 2^b\)，且 \(a \le 10, b \le 30\)

前半句不重要，重要的是 \(a \le 10\)，这启示我们可以在 a 上面下文章

正解

我们对每个不同的 \(b\) 分别考虑，对于每一组 \(b\)，可以以 \(a\) 为重量进行 01 背包

设 \(f_{i, j}\) 表示在取 \(j * 2^i\) 重量下，最大的价值是多少。根据定义和 01 背包相关知识，我们可以初步推出转移式：

\[f_{i, j} = \max(f_{i, j}, f_{i, j - w_k} + v_k) \]

其中

• \(w_k\) 表示第 \(i\) 组中的所有重量
• \(v_k\) 表示第 \(i\) 组中的所有价值

接下来考虑不同组的转移。

考虑 \(f_{i, j}\) 可以由什么转移过来

• 上一组 \(i\) 中所有 \(k \le j\) 的 \(f_{i - 1, 2 * k}\)（为什么是 \(2 * k\) 呢？因为 \(k * 2^i = 2 * k * 2^{i - 1}\)）

• 若 W 第 i 位上为 1，则这一组中重量可以多选 \(2^i\)，所以还可以从 \(\max\limits_{k \le k' \le k + 2^i} f_{i, k'}\) 转移过来，又因为 \(f\) 数组单调不减，所以可以直接从 \(f_{i, k + 2^i}\) 转移过来

综上，可以写出转移式：

\[f_{i, j} = max(f_{i, j}, f_{i - 1, 2 * k + W_i} + f_{i, j - k}) \]

则最后的答案就是 \(f_{\log_2 W, 1}\)

Code

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
using pii = pair<int, int>;

const int kN = 101, kV = 1001;

int n, W, f[kN][kV];
vector<pii> v[kN];

void I() {
  fill(f[0], f[kN - 1] + kV, 0);
  for (int i = 0; i < kN; i++) {
    v[i].clear();
  }
}

void S() {
  for (int i = 1, w, v, s; i <= n; i++) {
    cin >> w >> v;
    for (s = 0; w % 2 == 0; w >>= 1, s++) {
    }
    ::v[s].push_back({w, v});
  }
  for (int l = 0; l < kN; l++) {
    for (int i = 0; i < v[l].size(); i++) {
      for (int j = kV - 1; j >= 0; j--) {
        if (j - v[l][i].first >= 0) {
          f[l][j] = max(f[l][j], f[l][j - v[l][i].first] + v[l][i].second);
        }
      }
    }
  }
  for (int l = 1; l < kN; l++) {
    for (int j = kV - 1; j >= 0; j--) {
      for (int k = 0; k <= j; k++) {
        f[l][j] = max(f[l][j], f[l - 1][min(2 * k + ((W >> l - 1) & 1), kV - 1)] + f[l][j - k]);
      }
    }
  }
  cout << f[(int)log2(W)][1] << '\n';
}

int main() {
  cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
  while (cin >> n >> W) {
    if (n == -1) {
      break;
    }
    I();
    S();
  }
  return 0;
}