BZOJ_1096_[ZJOI2007]_仓库建设_(斜率优化动态规划+单调队列+特殊的前缀和技巧)

描述


http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

有\(n\)个工厂,给出第\(i\)个工厂的到1号工厂的距离\(x[i]\),货物数量\(p[i]\),建设仓库所需花费\(c[i]\).

现在要把所有货物都装入仓库,第\(i\)号工厂的货物可以选择在\(i\)建仓库并存入,或者移动到\(k\)号仓库\((i<k<=n)\).移动的花费为数量与距离的乘积.

 

分析


我们来想一想dp方程.

用\(dp[i]\)表示前\(i\)个工厂,且在\(i\)修建仓库的最少花费.那么有转移方程:$$dp[i]=min\{dp[j]+cost(j+1,i)\}+c[i]$$

其中\(cost(j+1,i)\)表示把\(j+1\)号到\(i\)号的货物全部运送到\(i\)号所需的总花费.

这个\(cost\)怎么求呢?

我们用前缀和\(s1[i]\)表示\(p[1]+p[2]+...+p[i]\).

这样\((s1[i]-s1[j])\times{x[i]})\)就表示把从\(j+1\)号到\(i\)号的所有货物从1号运送到\(i\)号的总花费.

我们发现对于每一个\(k(j+1<=k<=i)\)号工厂,多花费了把\(p[k]\)个货物从1号运送到\(j\)号的花费.我们现在要减去这些多余的花费.

用前缀和\(s2[i]\)表示\(p[1]x[1]+p[2][x2]+...+p[i]x[i]\).

这样\(s2[i]-s2[j]\)就是多余的那些花费了.

但是这样的算法复杂度是\(O(n^2)\)的,注定要爆炸,所以我们考虑用斜率优化的办法把复杂度降到\(O(n)\).

首先变形,原式$$dp[i]=min\{dp[j]+(s1[i]-s1[j])\times{x[i]}-(s2[i]-s2[j])\}+c[i]$$

变形为$$dp[i]=min\{dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}\}+s1[i]\times{x[i]}-s2[i]+c[i]$$

设\(j<k<i\),\(k\)比\(j\)决策更优.则有$$dp[k]+s2[k]-x[i]\times{s1[k]}<dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}$$

即$$\frac{(dp[k]+s2[k])-(dp[j]+s2[j])}{s1[k]-s1[j]}<x[i]$$

单调队列搞一搞...

 

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef long long ll;
 5 const int maxn=1e6+5;
 6 ll n;
 7 ll x[maxn],p[maxn],c[maxn],s1[maxn],s2[maxn],q[maxn],dp[maxn];
 8 inline void read (ll &x){ x=0;ll k=1;char c;for(c=getchar();c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')k=-1;for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';x*=k; }
 9 inline ll up(int k,int j){ return dp[k]-dp[j]+s2[k]-s2[j]; }
10 inline ll dn(int k,int j){ return s1[k]-s1[j]; }
11 void init(){
12     read(n);
13     for(int i=1;i<=n;i++){
14         read(x[i]), read(p[i]), read(c[i]);
15         s1[i]=s1[i-1]+p[i];
16         s2[i]=s2[i-1]+p[i]*x[i];
17     }
18 }
19 void solve(){
20     ll front=0,tail=1;
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         while(front+1<tail&&up(q[front+1],q[front])<dn(q[front+1],q[front])*x[i]) front++;
23         int j=q[front]; dp[i]=dp[j]+(s1[i]-s1[j])*x[i]-(s2[i]-s2[j])+c[i];
24         while(front+1<tail&&up(i,q[tail-1])*dn(q[tail-1],q[tail-2])<=up(q[tail-1],q[tail-2])*dn(i,q[tail-1])) tail--;
25         q[tail++]=i;
26     }
27     printf("%lld\n",dp[n]);
28 }
29 int main(){
30     init();
31     solve();
32     return 0;
33 }
View Code

 

 

1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
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[Submit][Status][Discuss]

Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

posted @ 2016-06-11 16:59  晴歌。  阅读(120)  评论(0编辑  收藏