bzoj1019 [SHOI2008]汉诺塔

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

HINT

 

Source

 

题意：按一定规则行动，问如此行动，多少步后会将第一柱上的盘子全部移动到另一柱上

分析：

一、我们可以Dp

Dp[i][x]表示前 i 个盘子一开始放在 第x柱上，用了多少步可以移动到另一柱上

P[i][x]表示前 i 个盘子一开始放在 第x柱上，按题目所给策略移动，用了Dp[i][x]步后移动到了 P[i][x] 根柱上

那么转移很明显可以从i转移到i+1

用y表示p[i][x]，z表示第 i+1个盘子将要去的柱子

那么因为前 i 个盘子移到了 y，盘子又不能连续移动，大盘不能压着小盘， 所以第 z个柱子一定是空的，且只能移动第 i+1个盘子

所以这时 z = 1+2+3-x-y

移动过去后，那就要将那前i个盘子移到第i+1个盘子上面

又因为根据策略移动，所以一定数量的盘子从某根柱子上开始移动，无论第 i+1个盘子在哪，情况一定相同，所以

当 p[i][y] == z时，那么就放在上面就好，p[i+1][x] = z,Dp[i+1][x] = Dp[i][x]+1+Dp[i][y]

当 p[i][y] == x时，那么因为从x上会移到y上，又因为不能连续移动，不能压着小盘，所以下一步一定是第i+1个盘子从z移动到y，然后在将前 i 个盘子压到 第y根柱子上，所以p[i+1][x] = y,Dp[i+1][x] = Dp[i][x]+1+Dp[i][y]+1+Dp[i][x]

 

二、根据陈丽洁大神的找规律，用Dp[i]表示n = i 时的答案

有这样的性质

Dp[i+1] = a*Dp[i]+b

a，b根据策略的不同决定

暴力算出前三个答案，待定系数法求出a,b

。。。至于证明，不会。。。

不过根据Dp的结果，的确是有这个性质

 

综上所述，本题得解

只提供第一种解法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define For(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define Ford(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)
#define Rep(i, t) for(int i = (0); i < (t); i++)
#define Repn(i, t) for(int i = ((t)-1); i >= (0); i--)
#define MIT (2147483647)
#define INF (1000000001)
#define MLL (1000000000000000001LL)
#define sz(x) ((bnt) (x).size())
#define clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define puf push_front
#define pub push_back
#define pof pop_front
#define pob pop_back
#define ft first
#define sd second
#define mk make_pair
inline void SetIO(string Name) {
    string Input = Name+".in",
    Output = Name+".out";
    freopen(Input.c_str(), "r", stdin),
    freopen(Output.c_str(), "w", stdout);
}

const int N = 40;
LL Dp[N][4], P[N][4];
int n, Go[4];

inline void Input() {
    scanf("%d", &n);
    string S;
    For(i, 1, 6) {
        cin>>S;
        int a = S[0]-'A'+1, b = S[1]-'A'+1;
        if(!Go[a]) Go[a] = b;
    }
}

inline void Solve() {
    For(i, 1, 3) Dp[1][i] = 1, P[1][i] = Go[i];
    For(i, 2, n)
        For(x, 1, 3) {
            int y = P[i-1][x];
            int z = 1+2+3-x-y;
            Dp[i][x] = Dp[i-1][x]+1+Dp[i-1][y];
            if(P[i-1][y] == z) P[i][x] = z;
            else Dp[i][x] += 1+Dp[i-1][x], P[i][x] = y;
        }
    cout<<Dp[n][1]<<endl;
}

int main() {
    SetIO("1019");
    Input();
    Solve();
    return 0;
}