AcWing.7 混合背包问题

题目描述

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 \(s_i\) 次（多重背包）；

每种体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

解题思路

\(\qquad\)由于多重背包经过二进制拆分之后会变成以\(2^k\)为数量的\(log_2{s_i}\)堆，我们可以在这些堆上做\(01\)背包，所以我们就把这个混合背包搞成了两类：

\(\qquad\)\(a.s_{i}=0\)，此时在题目的描述中是完全背包，做一遍完全就行。

\(\qquad\)\(b.s_{i}\neq 0\)此时我们就是\(01\)或者多重了，那\(01\)我们可以看成是每个物品最多用\(1\)次，也就是所有的\(s_i\)都是\(1\)，然后做二进制优化的多重背包即可

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N], n, m;

int main() 
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
        
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        int v, w, s;
        scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
        
        if (s == 0) //当完全背包做
        {
            for (int j = v; j <= m; j ++ ) 
                f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
        else //转化为01背包
        {
            if (s == -1) s = 1;
            
            for (int k = 1; k <= s; k <<= 1) 
            {
                for (int j = m; j >= v * k; j -- ) 
                    f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
                s -= k;
            }
            
            if (s) for (int j = m; j >= s * v; j -- )
                f[j] = max(f[j], f[j - v * s] + w * s);
        }
    }
    
    printf("%d\n", f[m]);
    
    return 0;
}

\(\color{Green}{顺利AC!}\)