nim游戏必胜策略的证明

先说结论：

\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)

此时先手必败。

\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\)

此时先手必胜。

证明：

我们知道在 nim 游戏中，每堆都是 \(0\) 时，此时轮到的人失败。

而 \(0\oplus 0\oplus ...\oplus 0=0\)

所以只要一直让 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)，最后一定会出现全 \(0\) 局面。

为此要证明两点：

第一点：

\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\) 时，一定可以通过一次操作，让\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = 0\) 。

设\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = x\)，

且 \(x\) 最高位为第 \(k\) 位（第 \(k\) 位当然是 \(1\)），

则一定有一个 \(i\)，保证 \(a_i\) 二进制状态下的第 \(k\) 位为 \(1\)。

其满足： \(a_i \oplus x< a_i\)。

这点很好理解：

设 \(a_i\) 后 \(k\) 位为 \(1\) 后面一大坨，

\(x\) 的 \(k\) 位同样为为 \(1\) 后面一大坨，

所以两者异或，第 \(k\) 位没了，剩下的肯定小于 \(a_i\)。

所以有了这点，我们不妨让 \(a_i\) 变成 \(a_i \oplus x\)，即在第 \(i\) 堆拿去 \(a_i-(a_i \oplus x)\) 个。

所以原来 \(n\) 堆的异或变成了：

\(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i \oplus x \oplus ...\oplus a_n\)。

我们知道原来这n堆异或为 \(x\)，即 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n = x\)。

现在又多了一个 \(x\)，\(n\) 堆的异或变成了 \(0\)，目的达到了。

第一点证毕

接下来还要证明一点。

第二点：

当 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\) 时，不管如何取，取之后 \(n\) 堆异或一定不是\(0\)，即 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\) 。

这里可以用反证法：

设在第 \(i\) 堆取走若干个，会使其变成 \(a_i'\) 。

假设取走后 \(n\) 堆异或还是 \(0\):

则 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i' \oplus ...\oplus a_n=0\) 。

和原来的 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_i \oplus ...\oplus a_n=0\) 比较。

我们可以让两个等式左右两边异或起来。

发现一个神奇的东西：

\(a_i \oplus a_i' = 0\) 。

即 \(a_i=a_i'\)，明显矛盾。

所以第二点证毕

综上可以得出：

若 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0\)。

则先手无论如何也无法让 \(n\) 堆异或还是为 \(0\)，所以后手每次接到先手操作的结果都是 \(n\) 堆异或不等于 \(0\)，而 TA 可以通过上述第一点的方式再次让 \(n\) 堆异或为 \(0\)，以此类推，最后先手将收到 \(n\) 堆全部为 \(0\) 的局面，就无了。

若 \(a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n \ne 0\)，还是一样的道理，这次是后手输。

完