lucas定理学习笔记

lucas学习笔记

小蒟蒻的第一篇学术文章，对lucas定理的理解可能不够透彻，如有错误，望指正，同时望支持。

注：下文 \(\binom{a}{b}\)为\(\frac {b!} {a!(b-a)!}\quad\) (即组合数）

定理内容：

\(p\) 为质数，则有

\(\binom{n}{m}\equiv\binom{n\mod\ p}{m\mod\ p}\times \binom{\frac{n}{p}}{\frac{m}{p}}\ (mod\ \ p)\)

常用于在 \(m>p,n>p\) 时求 \(\binom{n}{m}\mod\ p\)

先证明两个引理：

引理1(后面用来证明引理2)：

有 \(p\) 为质数，又有 \(1\le k \le p-1\)

则有 \(p\mid\binom{k}{p}\)

证明:

\(\binom{k}{p}=\frac {p} {k}\times\binom{k-1}{p-1}\)

移项得:

\(k\times\binom{k}{p}=p\times\binom{k-1}{p-1}\)

所以 \(p\mid k\times\binom{k}{p}\)

因为 \(p\) 为素数

所以 \(p\nmid k\) , \(p\mid\binom{k}{p}\)

引理1证毕

引理2：

\((x+y)^p\equiv x^p+y^p\ (mod\ \ p)\)

同理：\((x+y)^{p^k}\equiv x^{p^k}+y^{p^k}\ (mod\ \ p)\)

证明:

\((x+y)^p=x^p+\sum_{k=1}^{p-1}\binom{k}{p}x^ky^{p-k}+y^p\)

由引理1知: \(p\mid\binom{k}{p}\)

所以 \((x+y)^p\equiv x^p+y^p\ (mod\ \ p)\)

同理转化可得 \((x+y)^{p^k}\equiv x^{p^k}+y^{p^k}\ (mod\ \ p)\)也成立

引理2证毕

正式开始证明：

先将 \(m\) 转换 \(p\) 进制：\(m=a_0+a_1p+a_2p^2+...+a_kp^k\)
则有
\((1+x)^m=(1+x)^{a_0+a_1p+a_2p^2+...+a_kp^k}\)
\(\qquad\qquad=(1+x)^{a_0}(1+x)^{a_1p}(1+x)^{a_2p^2}...(1+x)^{a_kp^k}\)

引用引理2：

\((1+x)^m\equiv(1+x)^{a_0}(1+x^{p})^{a_1}(1+x^{p^2})^{a_2}...(1+x^{p^k})^{a_k}\ (mod\ \ p)\)

引用二项式定理：

\((1+x)^m\equiv(\sum_{j=0}^{a_0}\binom{j}{a0}x^j)(\sum_{j=0}^{a_1}\binom{j}{a_1}x^{pj})(\sum_{j=0}^{a_2}\binom{j}{a_2}x^{p^2j})...(\sum_{j=0}^{a_k}\binom{j}{a_k}x^{p^kj})\ (mod\ \ p)\)

讨论等式两边 \(x^n\) 的系数
左边：\(\binom{n}{m}\)

右边：

我们看到 \(x\) 的排列形式为进制展开的形式

而 \(n\) 可转换为 \(b_0+b_1p+b_2p^2+...+b_kp^k\)

所以当式子的 \(j\) 依次取 \(b_0,b_1,b_2...b_k\) 时，可以形成 \(x^n\)

此时右边 \(x^n\) 的系数为：\(\binom{b0}{a0}\binom{b1}{a1}\binom{b2}{a2}...\binom{bk}{ak}\)

所以 \(\binom{n}{m}\equiv\binom{b0}{a0}\binom{b1}{a1}\binom{b2}{a2}...\binom{bk}{ak}\ (mod\ \ p)\)

根据开头\(m\)的分解，我们知道
\(a_0=a\mod\ p \quad b_0=b\mod\ p\)
\(a_1=\frac{a}{p}\mod\ p \quad b_1=\frac{b}{p}\mod\ p\)
\(a_2=\frac{a}{p^2}\mod\ p \quad b_2=\frac{b}{p^2}\mod\ p\)
...
\(a_k=\frac{a}{p^k}\mod\ p \quad b_k=\frac{b}{p^k}\mod\ p\)

所以写成函数递归，就是：

\(lucas(m,n)\equiv \binom{n\mod\ p}{m\mod\ p}\times lucas(\frac{m}{p},\frac{n}{p})\ (mod\ \ p)\)

到此，证毕

献上模板Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int N,m,n,p;
int qmi(int a,int b)
{
	int ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}//快速幂求逆元 
int C(int m,int n)
{
	int res=1;
	for(int i=1,j=m;i<=n;i++,j--)
	{
		res=res*j%p;
		res=res*qmi(i,p-2)%p;//除以i等于乘逆元 
	}
	return res;
}
/*求组合数这里可以用阶乘预处理等优化 
这里用朴素求法，有些题会被卡时间
建议以后这里直接优化 */
int lucas(int m,int n)
{
	if(m<p&&n<p) return C(m,n);
	return C(m%p,n%p)*lucas(m/p,n/p)%p;
}//核心代码！ 
signed main()
{
	scanf("%lld",&N);
	while(N--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&p);
		printf("%lld\n",lucas(m,n));
	}
	return 0;
}

没有人有耐心能看到这里吧