ybt学习笔记

补不完了 先发出来吧

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2.1 字符串基础
略

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2.2 哈希
例1：哈希用途：将一个字符串映射成一个数
例2：哈希判回文：弄一个 reverse 二分回文串的一半长度
例3：二维哈希：将一块矩阵映射成一个数 其余做法同一维
例4：映射 双指针
例5：二维哈希 暴力枚举

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2.3 KMP
例1：KMP用途：线性复杂度匹配单一字符串
例2：利用 nxt 数组求循环节
例3：失配树 倍增 O(nlogn) 路径压缩 O(n)
例4：用 nxt 数组解决形如 ABA 的字符串问题

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2.4 Trie树
例1：用途：从头开始存储多个小串
例2：01Trie + 贪心解决异或和最大问题
例3：xor性质：x xor 0 = x | x xor x = 0 01Trie + 贪心
例4：map + vector

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2.5 AC自动机
例1：用途：多模式串匹配
例2：建树优化暴力跳fail
例3：求匹配的最长前缀长度 暴力跳

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3.1 并查集
例1：板子
例2：带权并查集
例3：扩大并查集
例4：用并查集代表元素维护信息
例5：逆序并查集

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3.2 最小生成树
例1：树的特点：n个点有n-1条边 各点间互相连通
例2：引入新结点
例3：优化kruskal的排序 添加新边kruskal
例4：最小生成树的边是连接两个连通块边权最小的边

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3.3 最短路
例1：堆优化dijkstra：不能处理负权边
例2：spfa判负环
例3：反向建图 分层图最短路
例4：用最短路实现dp转移

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3.4 强连通分量
例1：tarjan缩点 将复杂度优化到线性
例2：用tarjan处理信息传递关系
例3：缩点后的强连通分量标号即为逆拓扑序
例4：差分约束 用tarjan优化有特征的最长/短路

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4.1 堆的应用
例1：贪心 堆排使用场景：需要多次排序 并且每次改变的元素不多 插入复杂度O(logn) 弹出/查询O(1)
例2：找性质 可以考虑暴力\(\rightarrow\)优化
例3：实际上知道这是手写堆链表存图的写法 然而胡了个优先队列的（
例4：贪心 考虑堆的大小可以维护某些信息

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4.2 树状数组
例1：树状数组作用：单点修改区间查询（常数小于线段树 而且好写！）
例2：逆序对思想：用树状数组优化类似于 \(\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^ja_i (a_i < a_j)\) 的式子的复杂度
例3：dp + 逆序对思想优化转移式 子序列问题一般可以设状态 f[i] 表示以 i 结尾的...序列
例4：区间修改区间查询（常数小于线段树 而且好写！） 考虑差分 维护 \(d_i\) 与 $d_i * i $
例5：二维树状数组 横着加一遍 竖着加一遍 容斥
例6：矩阵区间修改区间查询 考虑差分 左上角右下角 +val 左下角右上角 -val 查询式类似二维哈希

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4.3 RMQ问题
例1：RMQ作用：预处理后 O(1) 查询区间最大值最小值
例2：RMQ推广 查询重叠区间没有影响的量
例3：连续不重复区间可以考虑维护队头 队头具有单调性
例4：二维st表

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4.4 线段树
例1：线段树单点修改区间求和
例2：线段树区间修改区间求和 线段树作用：O(logn) 维护区间修改查询问题
例3：线段树分治
例4：线段树加乘
例5：权值线段树 很多棵线段树

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4.5 LCA
例1：用 lca 求树上距离
例2：倍增维护两点间路径上的最长线段
例3：树上前缀和
例4：kruskal + lca 的综合应用 若让指定边加入最小生成树 考虑删掉该边链接的两点路径上的最长边

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4.6 倍增
例1：倍增跳具有单调性的东西
例2：若一步步跳得到的结果一定 可以考虑倍增跳

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5.1 背包dp
例1：01背包 拿或不拿的装状态
例2：完全背包
例3：多重背包 二进制优化/单调队列优化
例4：凑钱类题目：从小到大考虑面值 设 vis[i] 表示 i 能否被表示出来 从小到大进行转移

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5.2 区间dp
复杂度一般为 \(O(n^3)\)
例1：将一个大区间分为两个小区间枚举断点转移
例2：区间涂色问题考虑区间dp：考虑左右两端点能否刷一次解决（即颜色是否相同）
例3：区间消除问题考虑区间dp：开三维 第三维记录 r 之后与 r 颜色相同的长度 转移时可以直接消掉后半段 也可以枚举 l 到 r 之间与 r 颜色相同的断点 k 将 k + 1 到 r - 1 的部分消除 把剩余并到后面 记忆化搜索
例4：二维区间dp：分别枚举水平 竖直切割线

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5.4 树形dp
例1：开第二维（0/1/2等）记录每个节点在不同情况下的状态
例2：同上
例3：YBTOJ 5.4例3 最长距离 题解
例4：P2014 选课 （ 树上背包 ）

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5.5 状压dp
例1：通过状压维护01状态 其实可以考虑把合法的方案对数预处理出来
例2：由于经过不重不漏 可以用状压维护状态然后转移 xor可以用于从某状态中扣掉特定一位的1
例3：三维状压
例4：涉及更多状态的状压

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5.6 单调队列
例1：板子 没啥好说的
例2：对于一段不大于某长度的区间问题 可以考虑枚举右端点然后单调队列维护左端点
例3：题目条件都不是白给的 牢记比你小还比你强
例4：对于转移区间包含这个点的 需要单调队列正反扫两遍
例5：对于转移区间在这个点前面隔一段的位置的 再维护一个尾指针表示最后一个入队元素的位置

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6.1 矩阵快速幂
例1：快速幂板子
例2：矩阵加速 构造转移矩阵
例3：用矩阵快速幂优化顶针式dp
例4：矩阵套矩阵 YBTOJ 6.1例4 矩阵求和 题解
例5：同顶针式dp YBTOJ 6.1例5 最短路径 题解

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6.2 质数与约数
例1：线性筛板子
例2：用 \(\sqrt{n}\) 的数即可筛出 \(\left[1, n \right]\) 的所有质数
例3：因为求正整数解 考虑将式子转化为 x = 什么什么 y 的形式 进而转化为整除问题 算术基本定理求解
例4：还是算数基本定理 实测直接爆搜就行（） 如果要打正解还是从算数基本定理出发 从约数个数相同的最小数角度考虑剪枝优化
例5：模运算的拆分 整除分块

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6.3 同余问题
例1：同余方程
例2：算术基本定理 /x 即为 乘 x 的逆元 质数 p 的欧拉函数等于 p - 1
例3：线性求逆元
例4：CRT

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6.4 组合数学
例1：经典二项式定理 记得要乘上系数对应的幂次
例2：线性求组合数
例3：数论超级全家桶

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6.6 数学期望
例1：期望定义
例2：线性期望 dp
例3：DAG 上的期望 dp