2025.05.13 CW 模拟赛 A. 灯

A. 灯

题目描述

有 \(n\) 个灯排成一排，有的灯是开着的，有的灯是关着的。第 \(i\) 盏灯的开关状态是 \(a_i\)（1 表示开，0 表示关）。现在希望让第 \(i\) 盏灯的开关状态变成 \(b_i\)。

有 \(m\) 个开关，第 \(i\) 个可以翻转 \([l_i, r_i]\) 中的所有灯的开关状态（即 1 变成 0，0 变成 1）。每种开关最多只能按一次。

你需要求出有多少种按开关的方案，使得所有灯都能够到达想要的状态。由于方案数可能很大，只需要输出答案对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。特别的，如果存在至少一组方案，你还需要给出一组构造。

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思路

发现不好 \(\rm{DP}\).

我们将 \(a\) 数组异或上 \(b\) 数组然后差分一下, 题意就转化为: 每次修改两个端点, 求将数组中所有数全部变为 \(0\) 的方案数.

对于所有的 \(l_i, r_i\), 操作之间可能会互相影响, 我们把它们放在图上. 具体来说, 我们将两个端点 \(l, r + 1\) 进行连边 \((\)因为是差分数组\()\), 然后会形成许多连通块. 考虑什么时候无解. 由于翻转一条边后连通块中 \(1\) 的个数的奇偶性不变, 所以如果某一个连通块中 \(1\) 的个数为奇数一定无解.

对于每一个连通块, 我们找出其一个生成树, 可以发现仅翻转这棵树上的某些边就能够合法, 其余非树边可选可不选, 最后的答案就要乘上 \(2^{\text{非树边数量}}\).

至于构造方案, 我们在 \(\rm{DFS}\) 寻找生成树回溯的时候进行处理, 如果该点的儿子为 \(1\), 那就不得不对这条边进行操作.

void calculate() {
    int tr = 0;
    auto dfs = [&](auto&& self, int u) -> int {
        int res = 0;
        vis[u] = true;
        for (auto [v, id] : e[u]) {
            if (vis[v]) {
                continue;
            }
            ++tr, res += self(self, v);
            if (w[v]) {
                w[v] ^= 1, w[u] ^= 1;
                ans[id] = 1;
            }
        }
        return res + a[u];
    };

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (vis[i]) {
            continue;
        }
        if (dfs(dfs, i) & 1) {
            puts("0\nNO");
            return;
        }
    }
    printf("%d\nYES\n", qpow(2, m - tr));
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        printf("%d", ans[i]);
    }
}

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后话

对于相互影响的约束, 可以转化为图上问题进行处理.