[ABC203E] White Pawn

随机跳题跳到的.

题目大意

有一个 \((2n + 1) \times (2n + 1)\) 的棋盘, 有一个白棋在 \((0, n)\).
当白棋在 \((i, j)\) 时你可以进行以下操作:

1. 如果 \((i + 1, j)\) 没有黑棋, 你可以走到那.
2. 如果 \((i + 1, j - 1)\) 有黑棋, 你可以走到那.
3. 如果 \((i + 1, j + 1)\) 有黑棋, 你可以走到那.

求到 \((2n + 1)\) 行时能够到达多少个点.

\(1 \le n \le 10^9, 0 \le m \le 2 \times 10^5\)

思路

观察到 \(1 \le n \le 10^9\), 直接模拟肯定是不行的.

根据题目, 白棋所能够到达的位置只与黑棋有关联.
如果一行没有任何一个黑棋, 那么它的状态只能由上一行继承过来, 即只能进行操作 1.

黑棋至多有 \(2 \times 10^5\) 个, 故可以考虑只枚举每一个黑棋的位置.
具体地, 我们从小到大枚举每一行每一个黑棋的位置, 然后按照题目中给定的操作进行分类讨论即可.

在实现上, 可以离散化或者使用 map 套 vector 存储每一行黑棋的位置, 用 set 统计答案即可.
最后 set 的大小即为答案, 时间复杂度 \(\mathcal{O}(m \log m)\).

代码

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