堆 trick 二则

垃圾堆

\(\gdef\top{\operatorname{top}}\)

用法与实现

垃圾堆是实现堆删除任意元素的一种实现方式，具体的，如果要删除堆 \(h\) 内一个元素，我们先不操作 \(h\)，而是新开一个堆 \(h'\)，把这个元素 push 进 \(h'\) 内，那么此时显然有 \(h'\subseteq h\)。这样，查询 \(h\) 最值时，我们可以两边同时 pop，因为 \(h'\) 里面所有元素都在 \(h\) 内，故如果 \(h\) 原堆顶本应被删除，此时 \(\top(h)=\top(h')\)。一直删掉，直到 \(\top(h)\ne\top(h')\) 即可，此时 \(\top(h)\notin h'\)，所以这个元素没被删。

时间复杂度

考虑最坏情况，每个元素都被删，注意到每个元素都会：

1. 进一次 \(h\)，
2. 进一次 \(h'\)，
3. 同时从 \(h\)、\(h'\) 被 pop 掉，

故这东西的时间复杂度是优越的 \(O(n\log_2n)\)，其中 \(n\) 是堆内不同元素的个数。

这东西似乎比对顶堆还冷门，而且似乎可以用 multiset 代替，但考虑到 multiset 的大常数。

对顶堆

用法与实现

对顶堆支持维护集合中位数（好像固定第 \(k\) 大也能维护），具体的，我们开两个堆 \(h_1,h_2\)，\(h_1\) 是大根堆，存放小于中位数的数；\(h_2\) 是小根堆，存放不小于中位数的数，每次访问中位数就取 \(h_2\) 的堆顶即可。当然访问 \(h_1\) 以获得中位数也不是不行，稍微调整一下即可。

往集合里面插入一个数 \(x\)，先看堆顶，若 \(\top(h_1)>x\)，那么 \(x\) 应该取 \(h_1\)，否则去 \(h_2\)，插入后要维持平衡，看两个堆大小是否相同（奇数个元素的话看 \(h_2\) 的大小是否刚好比 \(h_1\) 的大小大 \(1\)）。

时间复杂度

显然有单次插入均摊 \(O(\log_2n)\)，查询 \(O(1)\)。