2026 NOIP 模拟赛 4 差点保龄寄

\(\gdef\red{\colorbox{FE4C61}{\color{#fff}\text{Red}}}\) \(\gdef\orange{\colorbox{F39C11}{\color{#fff}\text{Orange}}}\) \(\gdef\yellow{\colorbox{FFC116}{\color{#000}\text{Yellow}}}\) \(\gdef\green{\colorbox{52C41A}{\color{#fff}\text{Green}}}\) \(\gdef\cyan{\colorbox{13C2C2}{\color{#fff}\text{Cyan}}}\) \(\gdef\blue{\colorbox{3498DB}{\color{#fff}\text{Blue}}}\) \(\gdef\purple{\colorbox{9D3DCF}{\color{#fff}\text{Purple}}}\) \(\gdef\black{\colorbox{0E1D69}{\color{#fff}\text{Black}}}\) \(\gdef\gray{\colorbox{BFBFBF}{\color{#000}\text{Unknown}}}\)河溢危，禾已萎，鹤依偎。禾异味，鹤已畏，合一，谓何？"异味？"何矣，味何？以萎。何异胃颌已危，何医为？河易为河医。为何？医喂荷以维何一胃。何已维。"颌医未。"何矣，胃颌易维，合一位，荷医为颌，医危颌，"已伟！"何意为贺医位。

赛时历程

T1 是个 DP，推不出来看 T2 有思路直接写，然后成功被 hack 了。侥幸认为数据应该比较水，说不定能拿个几分，但大概率保龄，回去功课 T1，推出了这么个柿子：

设 \(f_n\) 为长度为 \(n\) 的所有排列排序所需最少交换次数（不一定相邻交换！），则

\[f_n = \sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}f_{n-i}\binom ni. \]

后发现是错的，懒得改了，其他暴力不会，保龄遗憾离场。

编号	赛时估分	赛后出分
A	\(0\)	\(0\)
B	\(0\)	\(20\)
C	\(0\)	\(0\)
D	\(0\)	\(0\)
E	\(0\)	\(0\)

赛后改题 & 总结

A. 冒泡排序（sort）

题目大意

考虑以下函数

procedure sort(array a[1..n]) {a 随机生成}
var
	p1,p2: integer;
begin
	while a 无序 then 
	begin
		p1 = randint(1..n); 
		p2 = randint(1..n);
		swap(p1,p2); {Bookmark!}
	end;
end.

用这个函数将所有长 \(n\) 的序列 \(p\) 都排一次序，如果足够幸运，Bookmark! 处执行次数尽可能少，平均每次排序 Bookmark! 处会执行多少次？答案每日对 \(998~244~353\) 驱魔^[1]。共 \(T\) 次询问，\(1\le T\le 10^5, 1\le n\le 10^7\)。

思路

在 \(1\sim n-1\) 的基础上插入新数 \(n\)。此时 \(n\) 可以放在 \(n\) 个位置上。

若 \(n\) 在最后，啥也不用干，次数 \(f_{n-1}\)；若 \(n\) 在前面，首先一步把他丢到最后头去，这里每个排列都要增加一次操作，然后是前面 \(n-1\) 个数随便换，也即 \((n-1)!+f_{n-1}\)，别忘了 \(n\) 一共 \(i-1\) 个位置可以放，故

\[f_n=f_{n-1}+(n-1)[(n-1)!+f_{n-1}], \]

最后求个平均，答案就是

\[\frac {f_n}{n!}. \]

把阶乘和 \(f\) 预处理一下再询问，时间是优越的 \(O(n+T)\)。

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1. 同时每日有人因为不会除法逆元失去较多分数。 ↩︎