2026 NOIP %你赛 3 切题寄

\(\gdef\sc{\operatorname{s}}\) \(\gdef\hour{\operatorname{h}}\)\(\gdef\pts{\operatorname{pts}}\) \(\gdef\red{\colorbox{FE4C61}{\color{#fff}\text{Red}}}\) \(\gdef\orange{\colorbox{F39C11}{\color{#fff}\text{Orange}}}\) \(\gdef\yellow{\colorbox{FFC116}{\color{#000}\text{Yellow}}}\) \(\gdef\green{\colorbox{52C41A}{\color{#fff}\text{Green}}}\) \(\gdef\cyan{\colorbox{13C2C2}{\color{#fff}\text{Cyan}}}\) \(\gdef\blue{\colorbox{3498DB}{\color{#fff}\text{Blue}}}\) \(\gdef\purple{\colorbox{9D3DCF}{\color{#fff}\text{Purple}}}\) \(\gdef\black{\colorbox{0E1D69}{\color{#fff}\text{Black}}}\) \(\gdef\gray{\colorbox{BFBFBF}{\color{#000}\text{Unknown}}}\)贺义围河邑卫，河邑卫吓，以为阖已危。贺义谓河邑卫何毅：“为何矣？围合已围，何以卫河邑为？何毅！为何一味荷蚁微？”何毅慰阖邑，谓：“贺义威诃，以为河邑畏。何矣？伪吓以为嚇疑危。贺义，伪貉矣！”谓：“盍亦威吓一围合，以畏贺义猥！”阖邑慰。何毅谓：“合宜威吓矣！”卫嚇，亦谓：“贺义，伪！”

赛时历程

开赛看 T1，出题人终于善良了一回，简单数学推导，但是导了我 \(2\hour+\)，看 T2 T3 T4 都不会，只拼到 \(30\pts\) 的暴力。\(130\pts\) 有点悬。赛后一看：我 T2 出题人送了我 \(20\pts\)，统共 \(150\pts\)。

编号	赛时估分	赛后出分
A	\(100\)	\(100\)
B	\(20\)	\(40\)
C	\(0\)	\(0\)
D	\(10\)	\(10\)
E	\(0\)	\(0\)

赛后改题 & 总结

A. 秘境（mijing）

题目大意

求

\[\sum_{i=1}^n\left\lfloor\sqrt i\right\rfloor \]

对 \(998~244~353\) 取模的结果。\(1\le n\le 10^{18}\)。

思路

设上面那坨是 \(G\)，那么显然 \(G\) 被分成两部分：（为了好算补一个 \(0\)）

\[G=(1\times0)+3\times1+5\times2+7\times3+\cdots+k\times y, \]

设 \(y\) 前面一大坨是 \(x\)，那么

\[\begin{aligned} x&=\sum_{i=0}^ri(2i+1)\\ &=\sum_{i=0}^r2i^2+i\\ &=\left(2\sum_{i=0}^ri^2\right)+\left(\sum_{i=0}^ri\right)\\ &=\frac{r(r+1)(2r+1)}3+\frac{r(r+1)}2, \end{aligned} \]

同时为了简单算 \(y\)，我们令 \(r\) 尽量大，要求

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^r2i+1&\le n,\\ (r+1)^2&\le n,\\ \therefore r&=\left\lfloor\sqrt n\right\rfloor-1. \end{aligned} \]

这部分很难讲明白，但是有位大佬二分把 \(r\) 求出来了，其实也行。接下来就简单了：

\[y=[n-(r+1)^2+1](r+1), \]

为什么中括号里面要 \(+1\) 呢？注意到 \(3+5+7+\cdots+(2n-1)=n^2-1\)。

最后，

\[\boxed{G=x+y=\frac{r(r+1)(2r+1)}3+\frac{r(r+1)}2+[n-(r+1)^2+1](r+1).} \]

由于取模，要给 \(2\) 和 \(3\) 取逆元。时间是高贵的 \(O(1)\sim O(\log_2n)\)。