一元二次方程、二次函数学习笔记

一元二次方程

形式

一元二次方程二次方程的形式是：\(ax^2+bx+c=0\)（注意 \(a\ne 0\)，否则就会变成一次方程，但是 \(b,c\) 可以为 \(0\)）。

解要写成 \(x_1=p,x_2=q\) 的形式，即使 \(x_1=x_2\) 也要写成 \(x_1=x_2=r\) 的形式，不能写 \(x=r\)。^[1]

解法

直接开方法：方程 \((x+f)^2=g\) 的解法

\[\begin{aligned} (x+f)^2&=g,\\ x+f&=\pm\sqrt g,\\ x&=\pm\sqrt g-f,\\ \end{aligned} \]

也就是，

\[\boxed{x_1=\sqrt g-f,x_2=-\sqrt g-f.} \]

配方法：部分 \(ax^2+bx+c=0\) 的解法

首先你需要学会配方：你需要根据给定的 \(a,b,c\)，改成 \((nx+m)^2\) 的形式。

这个不好用字母推，给个例子：

\[\begin{aligned} 3x^2+6x-9&=0,\\ 3x^2+6x&=9,\\ 3x^2+6x+3&=9+3,\text{（这里就是配方。）}\\ 3(x+1)^2&=12,\\ (x+1)^2&=4,\\ x+1&=\pm2,\\ x_1&=1,\\ x_2&=-3. \end{aligned} \]

公式法：方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的解法

由一般的配方推来：

\[\begin{aligned} ax^2+bx+c&=0,\\ ax^2+bx&=-c,\\ a^2x^2+abx&=-ac,\\ a^2x^2+abx+\frac{b^2}4&=-ac+\frac{b^2}4,\\ \left(ax+\frac b2\right)^2&=\frac{b^2-4ac}4,\\ ax+\frac b2&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}2,\\ ax&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}2,\\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \end{aligned} \]

注意到若 \(b^2-4ac<0\) 那么方程无实数解，我们把这坨东西记为 \(\Delta\)，那么，若 \(\Delta>0\)，则

\[\boxed{x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},} \]

若 \(\Delta=0\)，则

\[\boxed{x_1=x_2=-\frac b{2a},} \]

否则方程无实数解。

以上就是公式法，非常万能，忘了公式的话如果你还记得怎么配方，你可以在考场上现推。

因式分解法：方程 \((px+q)(rx+s)=0(p,r\ne0)\) 的解法

首先需要学会因式分解。注意到此时一定满足 \(px+q=0\) 或 \(rx+s=0\)，然后就有：

\[\boxed{x_1=-\frac qp,x_2=-\frac sr.} \]

这时你就会发现因式分解法比配方法和公式法快很多，所以我们解方程考虑方法的顺序是直接开方—因式分解—配方—公式。

根与系数的关系（韦达定理）

套公式：

\[\begin{aligned} x_1+x_2&=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}+\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a},\\ &=\frac{-2b}{2a}\\ &=-\frac ba,\\ x_1x_2&=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\cdot\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ &=\frac{(-b)^2-\Delta}{4a^2}\\ &=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}\\ &=\frac ca. \end{aligned} \]

总结：

\[\boxed{x_1+x_2=-\frac ba, x_1x_2=\frac ca.} \]

反正这个东西比较有用就是了。

推广：在方程 \(\sum_{i=0}^na_ix^i=0\) 中，有

\[\boxed{ \sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\prod_{i=1}^{n}x_i=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}, } \]

其中，

• \(a_n\ne0\)，
• \(\forall 1\le i\le n,x_i\in\mathbb C\)。

什么玩意儿。

二次函数

形式

一个普通二次函数的形式是：\(y=ax^2+bx+c(a\ne 0)\)。

与一元二次方程的联系

注意到，当 \(y=0\) 时，\(ax^2+bx+c=0\)，然后就退化成普通方程了，直接看此时 \(x\) 的横坐标即可。有些函数不经过 \(x\) 轴，这时 \(ax^2+bx+c=0\) 无实数解。

性质

众所周知，函数可以画图象，函数 \(y=0.1x^2+x-5\) 的图象长这样：

观察得，二次函数有最高（低）点啦！简单算一下就能知道，当 \(a>0\) 时，\(y=ax^2+bx+c\) 有最小值，否则有最大值，即图象有最低（高）点（注意 \(a\ne 0\)）。我们称图象的最高（低）点为顶点。

那么顶点的坐标是什么呢？

函数最值、图象顶点：函数 \(y=ax^2+bx+c\) 的性质

图象与 \(x\) 轴有两个交点

设顶点为 \(M\)，求 \(x_M\) 即可。发现函数图象关于过 \(M\) 的垂直于 \(x\) 轴的直线轴对称（设垂足为 \(G\)）那么 \(x_G=x_M\)，且 \(G\) 就是图象与 \(x\) 轴的两个交点的中点，\(x_G\) 可以看成两个解的平均数，直接算：

\[\begin{aligned} x_M=x_G&=\frac{x_1+x_2}2\\ &=-\frac b{2a}, \end{aligned} \]

代回去算：

\[\begin{aligned} y_M&=ax_M^2+bx_M+c\\ &=a\left(-\frac b{2a}\right)^2+b\left(-\frac b{2a}\right)+c\\ &=\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c\\ &=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\ &=-\frac{b^2-4ac}{4a}, \end{aligned} \]

也就是

\[M\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right). \]

图象与 \(x\) 轴相切

显然切点 \(M\) 的纵坐标 \(y_M=0\)，并且这种情况相当于 \(\Delta=b^2-4ac=0\)，故\(x_1=x_2=-\dfrac b{2a}\)，还是上面那坨。

图象与 \(x\) 轴无公共点

哈哈哈无解啦。咋办呢。考虑到我们竖直平移图象，其顶点横坐标肯定不变，我们把函数平移成 \(y=ax^2+bx+c'\)，顶点同时变为 \(M'\)，保证 \(\Delta'=b^2-4ac'\ge 0\)，然后套上面的式子算即可，

\[x_M=x_{M'}=-\frac{b}{2a}, \]

再代回去，发现我们仍能得到一样的结果：

\[\boxed{M\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right),} \]

那么这就是二次函数的顶点的坐标了。

衍生结论：

1. 函数图象是轴对称图形，它关于 \(x=-\dfrac b{2a}\) 对称；
2. 若 \(a>0\)，当 \(x<-\dfrac b{2a}\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小，当 \(x>-\dfrac b{2a}\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大；
3. 若 \(a<0\)，当 \(x<-\dfrac b{2a}\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大，当 \(x>-\dfrac b{2a}\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。

开口：函数 \(y=ax^2\) 的性质

观察图象，发现图象像一个杯子。刚才已经说了：当 \(a>0\) 时，\(y=ax^2+bx+c\) 有最小值，否则有最大值。这也就是说，当 \(a>0\) 时，杯底在下面、开口在上面，否则杯底在上面、开口在下面。也就是说，当 \(a>0\) 时，函数开口朝上，否则朝下。

不同的函数，开口大小也会不同：对于 \(y=ax^2\) 来说，\(x_1,x_2=\pm\sqrt{\dfrac{y}{a}}\)，那么 \(|x_1-x_2|=\dfrac{2\sqrt{ay}}{|a|}\)（易证得 \(ay\ge 0\)），所以，\(|a|\) 越大，\(|x_1-x_2|\) 越大，也就是图象上纵坐标相同的两个点距离越大，也就是函数开口越大。所以，函数开口大小与 \(|a|\) 正相关。

黑线（\(x=1\)）从上到下分别与 \(y=2x^2\)、\(y=x^2\)、\(y=-3x^2\) 相交。

平移：函数 \(y=a(x-t)^2+h\) 的性质

竖直方向上平移：\(t=0\)

此时函数退化成 \(y=ax^2+h\)，对顶点 \(\left(0,-\dfrac{-4ah}{4a}\right)\) 即 \((0,h)\) 进行研究，显然有个废话就是 \(h\) 越大，顶点越高，也就是说，函数图像随 \(h\) 增大而向上平移。

水平方向平移：\(h=0\)

此时函数退化成 \(y=a(x+t)^2=ax^2+2atx+t^2\)，对顶点 \(\left(-\dfrac{2at}{2a},0\right)\) 即 \(\left(\dfrac{-t}{2},0\right)\) 进行研究，显然有 \(t\) 越大，顶点就越往左移，也就是说，函数图像随 \(t\) 增大而向左平移。

红、蓝、绿分别为 \(y=x^2\)、\(y=(x+1)^2\)、\(y=x^2-2\) 的图象。

与 \(y=ax^2+bx+c\) 联系

开始配方：

\[\begin{aligned} y&=ax^2+bx+c\\ &=a\left(x^2+\frac bax\right)+c\\ &=a\left(x^2+\frac bax+\frac{b^2}{4a^2}\right)+c-\frac{b^2}{4a^2}\cdot a\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}, \end{aligned} \]

所以 \(t=\dfrac b{2a},h=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\)。

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1. 别问我为什么。 ↩︎