格与布尔代数

思维导图

回顾

偏序集

极大元和极小元

最大元和最小元

上界与下界

上确界与下确界

7-1 格 (Lattice)

基本概念

• 格的定义
  
  

• 平凡格
  

• 由格诱导的代数系统
  
  

• 子格
  

  • 判定子格：看去掉的元素是否影响封闭

格的对偶原理

格的性质

• 9条
  
  
  
  
  
  
  
  

格的同态与同构

• 定义
  
  

• 格同态的保序性
  

• 格同构的保序性
  
  
  

7-2 几个特殊格

分配格

• 定义
  

• 两个重要的五元素非分配格
  

• 分配格的判定
  

• 分配格的性质

  • 定理7-2.1

    • 在格中，如果∧对∨可分配，则∨对∧也
      可分配。反之亦然。
      

  • 定理7-2.2

    • 所有链均为分配格。
      

  • 定理7-2.3

    • 设<A, ≤>是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果
      有 a∧b=a∧c 及 a∨b=a∨c 则必有 b=c。
      

有界格

• 格的全上界与全下界

  • 全上界
    
    
    

    • 定理7-2.4

      • 一个格如果有全上界，则是唯一的。
        (我们已证明过，最大元如果有，则是唯一的)

  • 全下界
    

    • 定理7-2.5

      • 一个格如果有全下界，则是唯一的。
        从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只一个)。全下界0，就是图的最下边元素(只一个)。

• 有界格定义

  • 如果一个格存在全上界1与全下界0，则
    称此格为有界格。
    

有补格

• 回顾

  • 集合的补集
    

• 元素的补元

  • 设<A,≤>是个有界格，a∈A, 如果存在 b∈A, 使得 a∨b=1 a∧b=0 则称a与b互为补元。
    

• 有补格的定义

  • 一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格。
    

• 定理7-2.6

  • 在有界分配格中，如果元素有补元，则补元
    是唯一的。
    

布尔格

• 如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。
  

7-3 布尔代数 Boolean Algebra

定义

布尔代数的性质

• 10条
  
  

布尔代数的同构

• 定义
  

• 原子

  • 定义1
    

  • 定义2
    
    

• 原子的判定

  • 定理7-3.1
    

  • 定理7-3.2
    

  • 定理7-3.3
    

  • 定理7-3.4
    

  • 定理7-3.5
    

  • 定理7-3.6
    

  • 定理7-3.7
    

  • 定理7-3.8 (Stone钻石定理)
    

  • 推论1
    

  • 推论2
    

7-4 布尔表达式

布尔表达式概念

• 定义
  

• 对布尔表达式赋值
  

• 两个布尔表达式相等
  
  

布尔函数

• 定义
  

• 表示方法

  • 代数法
    

  • 真值表法
    

布尔表达式的范式

• 有两个元素的布尔代数的布尔表达式的范式
  

  • 析取范式(相当于命题公式的主析取范式)

    • 小项
      

    • 布尔表达式的析取范式
      

  • 合取范式(相当于命题公式的主合取范式)

    • 大项
      

    • 布尔表达式的合取范式
      

  • 析取范式与合取范式的写法

    • 方法1:列真值表
      
      
      
      

    • 方法2:表达式的等价变换
      

  • 应用
    
    

• 一般的布尔代数的布尔表达式的范式

  • 小项

    • 是由n个变元和B中元素构成的如下形式,称为小
      项.
      
      

  • 布尔表达式E(x₁,x₂,...xₙ)的析取范式
    

  • 定理7-4.1

    • 设< B,∨,∧,¯>是布尔代数,含有变元 x₁,x₂,...xₙ
      的布尔表达式E(x₁,x₂,...xₙ), 则可以写成析取范式形式.