解题报告-P11674 [USACO25JAN] Reachable Pairs G

P11674 [USACO25JAN] Reachable Pairs G

题目描述

考虑一个无向图，包含 \(N\) 个结点，编号为 \(1\dots N\)，以及 \(M\) 条边（\(1\le N\le 2\cdot 10^5\)，\(0\le M\le 4\cdot 10^5\)）。给定一个位串 \(s_1s_2\dots s_N\)。对于每一个 \(t\in [1,N]\)，在时刻 \(t\) 时，

• 如果 \(s_t=0\)，则从图中移除结点 \(t\)。
• 如果 \(s_t=1\)，则从图中移除结点 \(t\)，并在结点 \(t\) 被移除之前的每对邻居之间添加一条边。

注意在这两种情况下，当一个结点从图中被移除时它的所有相邻边也会被移除。

计算在每一个时刻 \(1\ldots N\) 之前，可以通过一组边相互到达的结点对数。

输入格式

输入的第一行包含 \(N\) 和 \(M\)。

第二行包含长为 \(N\) 的位串 \(s\)。

以下 \(M\) 行，每行包含两个整数，表示图中的一条边。

输出格式

输出 \(N\) 行，为每一个时刻之前所求的对数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 2
111
1 2
1 3

输出 #1

3
1
0

输入输出样例 #2

输入 #2

3 2
000
1 2
1 3

输出 #2

3
0
0

输入输出样例 #3

输入 #3

7 8
1101101
6 2
1 2
2 3
6 3
1 3
1 7
4 5
2 7

输出 #3

11
7
4
2
1
1
0

说明/提示

样例 1 解释：

在移除之前，所有结点对之间都可以相互到达。结点 \(1\) 被移除后，结点 \(2\) 和 \(3\) 之间添加了一条边，因此它们仍然可以相互到达。

样例 2 解释：

在移除之前，所有结点对之间都可以相互到达。结点 \(1\) 被移除后，结点 \(2\) 和 \(3\) 之间不再可以相互到达。

• 测试点 \(4\sim 6\)：\(N\le 100\)。
• 测试点 \(7\sim 8\)：所有 \(s_i\) 均等于 \(0\)。
• 测试点 \(9\sim 11\)：所有 \(s_i\) 均等于 \(1\)。
• 测试点 \(12\sim 23\)：没有额外限制。

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解题报告

首先，当 \(s_t==1\) 时，实际上并没有改变整个图的连通性，所以可以将这个点虚化不统计入答案而不需要真正删除。

那么现在的操作是：按编号升序删除或虚化每个点。

改成反向遍历，将每个点先虚化或删除，于是变成按编号降序加入或实化当前点。

假设遍历到点 \(u\)，那么对于每条边 \((u,v)\)，另一个端点 \(v\) 满足 \(v>u\) 或者点 \(v\) 是虚点，直接合并两个端点所在连通块。

用并查集维护连通性，同时维护每个连通块中的实点个数，在维护连通块的同时更新并答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=201100;

#define ckmax(x,y) ( x=max(x,y) )
#define ckmin(x,y) ( x=min(x,y) )

inline int read()
{
    int f=1,x=0; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(isdigit(ch))  { x=x*10+ch-'0';    ch=getchar(); }
    return f*x;
}

vector<int> e[N];
char s[N];
int n,m;
int ans[N],tot;

int dad[N],siz[N];

int findset(int x)
{
    if(dad[x]==x) return x;
    return dad[x]=findset(dad[x]);
}

void mergeset(int u,int v)
{
    u=findset(u),v=findset(v);
    if(u==v) return ;
    tot+=siz[u]*siz[v];
    siz[u]+=siz[v];
    dad[v]=u;
}

void addpos(int u)
{
    u=findset(u);
    tot+=siz[u];
    siz[u]++;
}

signed main()
{
    n=read(),m=read();
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) dad[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
        if(s[u]=='1' && s[v]=='1')
          mergeset(u,v);
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(auto j:e[i])
          if(j>i || s[j]=='1')
            mergeset(i,j);
        addpos(i);
        ans[i]=tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}