赛后总结-Codeforces Round 1063 (Div. 2)(虚拟参赛)

Codeforces Round 1063 (Div. 2)

A. Souvlaki VS. Kalamaki

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)。游戏有 \(n-1\) 轮，奇数轮 Souvlaki 行动，偶数轮 Kalamaki 行动。每轮可以：跳过，或交换当前轮号对应的元素与下一个元素。

如果最终数组非递减，则 Souvlaki 赢，否则 Kalamaki 赢。在游戏开始前，Souvlaki 可以任意重排数组 \(a\)。

问是否存在一种初始排列，使得 Souvlaki 有必胜策略。

升序排序，判断 Kalamaki 操作时是否只能交换相同的数。

B. Siga ta Kymata

给定一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(p\) 和一个初始全 \(0\) 的二进制串 \(s\)。你可以进行最多 \(5\) 次操作：每次选择 \(l\) 和 \(r\)，对于所有满足 \(l < i < r\) 且 \(p_i\) 在 \(p_l\) 和 \(p_r\) 之间的位置 \(i\)，将 \(s_i\) 设为 \(1\)。给定目标二进制串 \(x\)，要求最终所有 \(x_i\) 为 \(1\) 的位置 \(s_i\) 必须为 \(1\)。输出任意一个不超过 \(5\) 步的操作序列或判断不可能。

设排列 \(p\) 的最大值为 \(p_i\)，最小值为 \(p_j\) ，\(i\) 和 \(j\) 表示下标。

无解的情况：\(x_1=1\)、\(x_n=1\)、\(x_i=1\)、\(x_j=1\)。

对于每个满足 \(x_k\) 为 \(1\) 的位置 \(k\)：

• 若 \(p_k > \max(p_1,p_n)\) 且 \(k<i\)，选择区间 \([1,i]\)。
• 若 \(p_k > \max(p_1,p_n)\) 且 \(k>i\)，选择区间 \([i,n]\)。
• 若 \(p_k < \min(p_1,p_n)\) 且 \(k<i\)，选择区间 \([1,j]\)。
• 若 \(p_k < \min(p_1,p_n)\) 且 \(k>i\)，选择区间 \([j,n]\)。
• 其他情况，选择区间 \([1,n]\)。

设计的挺巧妙的，刚好最多 \(5\) 区间。

C. Monopati

给定一个 \(2\) 行 \(n\) 列的网格，每格有一个 \(1\) 到 \(2n\) 的不同整数。定义函数 \(f(l, r)\) 为将原网格中值在 \([l, r]\) 内的格子设为 \(1\)，其他为 \(0\) 的二进制网格。问有多少对 \((l, r)\) 使得在 \(f(l, r)\) 中存在一条从 \((1,1)\) 到 \((2,n)\) 的路径，路径只能向右或向下走且只能走值为 \(1\) 的格子。

显然必须存在一个拐点，可以从第一行周到第二行。

枚举在那一列拐弯，设为\(k\) 计算第一行处于 \([1,k]\) 和第二行处于 \([n-k+1,n]\) 的数的最大值 \(r_k\) 和最小值 \(l_k\)。这通过对第一行求前缀最值，对第二行求后缀最值计算。

降序枚举权值左端点 \(L\)，选择所有满足 \(l_k \geq L\) 的列 \(k\) 的 \(r_k\) 最小值，设为 \(R\)，这就是对于当前 \(L\) 存在可行路径的最小 \(R\)。那么对于当前 \(L\)，以任意在区间 \([R,2n]\) 的数都合法，有 \(2n-R+1\) 种情况。统计每个 \(L\) 的方案数就好了。