解题报告-P12022 [USACO25OPEN] Hoof Paper Scissors Minus One B

P12022 [USACO25OPEN] Hoof Paper Scissors Minus One B

题目描述

在一局蹄子剪刀布游戏中，Bessie 和 Elsie 可以出 \(N\) （\(1 \leq N \leq 3000\)）种不同的蹄子手势，编号为 \(1\dots N\)，每个手势对应一种不同的材料。不同材料之间的相互关系有一个复杂的表格，基于该表格，可能会：

• 一种手势获胜，另一种失败。
• 两种手势平局。

蹄子剪刀布-1.0 的规则类似，但 Bessie 和 Elsie 可以各自出两个手势，每只蹄子出一个。在观察到她们所出的四个手势后，她们各自选择其中一个手势进行游戏。结果根据正常的蹄子剪刀布的规则决定。

给定 Elsie 计划在每局游戏中出的 \(M\)（\(1 \leq M \leq 3000\)）个手势组合，Bessie 想知道有多少种不同的手势组合可以确保战胜 Elsie。一个手势组合定义为一个有序对 \((L,R)\)，其中 \(L\) 为奶牛用左蹄出的手势，\(R\) 为奶牛用右蹄出的手势。你能为每局游戏进行计算吗？

输入格式

输入的第一行包含两个空格分隔的整数 \(N\) 和 \(M\)，表示蹄子手势的数量，以及 Bessie 与 Elsie 进行的游戏局数。
以下 \(N\) 行，第 \(i\) 行由 \(i\) 个字符 \(a_{i,1}a_{i,2}\ldots a_{i,i}\) 组成，其中 \(a_{i,j} \in \{\texttt D,\texttt W,\texttt L\}\)。如果 \(a_{i,j} = \texttt D\)，则手势 \(i\) 平于手势 \(j\)。如果 \(a_{i,j} = \texttt W\)，则手势 \(i\) 胜于手势 \(j\)。如果 \(a_{i,j} = \texttt L\)，则手势 \(i\) 负于手势 \(j\)。输入保证 \(a_{i,i} = \texttt D\)。

以下 \(M\) 行，每行包含两个空格分隔的整数 \(s_1\) 和 \(s_2\)，其中 \(1 \leq s_1,s_2 \leq N\)，表示 Elsie 在该局游戏中的手势组合。

输出格式

输出 \(M\) 行，其中第 \(i\) 行包含在第 \(i\) 局游戏中 Bessie 可以确保战胜 Elsie 的手势组合数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3
D
WD
LWD
1 2
2 3
1 1

输出 #1

0
0
5

说明/提示

在样例 1 解释：这对应于原始的蹄子剪刀布，我们可以设蹄子为 \(1\)，布为 \(2\)，剪刀为 \(3\)。布战胜蹄子，蹄子战胜剪刀，剪刀战胜布。Bessie 无法确保战胜蹄子 + 布或布 + 剪刀的组合。然而，如果 Elsie 出蹄子 + 蹄子，Bessie 可以采用以下任一组合进行反击。

• 布 + 布
• 布 + 剪刀
• 布 + 蹄子
• 蹄子 + 布
• 剪刀 + 布

如果 Bessie 出这些组合中的任意一个，她可以确保通过出布来获胜。

• 测试点 \(2\sim 6\)：\(N,M\le 100\)。

• 测试点 \(7\sim 12\)：没有额外限制。

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解题报告

很简单的一道题。

显然，如果 Bessie 要确保战胜 Elsie，当且仅当 Bessie 出的手势组合中至少有一个手势能够同时战胜 Elsie 手势组合中的所有手势。

统计这样的手势，设其数量为 \(cnt\)，那么显然每一个同时得胜手势可以和任意一个手势组合，共 \(n \times cnt\) 种。

同时根据样例解释，每一对手势是有序对，所以应该 \(\times 2\)，变为 \(2 \times n \times cnt\)。

但是，对于每一对由两个同时得胜手势（可以相同）组成的组合，这样算会多算一次，还要 \(-cnt^2\)。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=3011;

#define ckmax(x,y) ( x=max(x,y) )
#define ckmin(x,y) ( x=min(x,y) )

inline int read()
{
    int f=1,x=0; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(isdigit(ch))  { x=x*10+ch-'0';    ch=getchar(); }
    return f*x;
}

int n,m;
int a[N][N];

signed main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=i;j++)
     {
         char ch;cin>>ch;
         if(ch=='W') a[i][j]=+1,a[j][i]=-1;
         if(ch=='L') a[i][j]=-1,a[j][i]=+1;
     }
    while(m--)
    {
        int u=read(),v=read(),ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          ans+=( a[i][u]>0 && a[i][v]>0 );
        printf("%d\n",ans*(2*n-ans));
    }
    return 0;
}