斜率优化

#作用：　　将某些复杂度不对的dp方程降一个维度，譬如O（n^2）的dp方程，若其满足决策单调性，既可通过斜率优化对其进行降维打击，让它强行变成O（n）的。 #决策单调性：　　若对于$f_i$来说，选择k这个决策是最优的，那么对于$f_{i+1}$到$f_n$来说，选择k之前的决策不会比选择k更优。例如：若f具有决策单调性$f_{i+1}$的决策一定是k或在k后面的决策。 #【证明决策单调性】： ##【数学归纳法】： 1. 设$f_i=min(f_j+a_i-a_j)$ 2. 假设有两个决策j和k,k>j且k优于j 3. $f_k+a_i-a_k斜率优化：

　　举例子说明总是比较直观的，下面我们来看一道例题。

$【$题目$】:$

　　现在我们有一个序列$a$，我们能把序列$a$切成若干段，对于在$i$和$j$被断开的一段序列，既$a_i..j$，我们可以得到一个分数$(\sum_{k=i}^ja_k)^2$。我们在i位置切割一次，就会得到$c_i$的分数。那么对于整个序列a，我们希望它的总分最小，求这个分数和。

【$n^2$做法】:

　　显然，我们能得到一个效率为$n^2$的dp方程

　　我们先设

\[sum_k=\sum_{i=1}^ka_i$$ $$f_i=min(f_j+(sum_i-sum_j)^2+c_i)$$ ##### 　　若$n\leq10^5$那么这个复杂度不能令人满意，我们就要接着对他进行一些处理。 ## 【证明决策单调性】 ##### 　　若$k> j$且$k$优于$j$ ##### $$f_j+(sum_i-sum_j)^2+c_i>f_k+(sum_i-sum_k)^2+c_i\]

$$f_j+sum_i^2-2\times sum_i\times sum_j+sum_j^{2+c_i>f_k+sum_i}2-2\times sum_i\times sum_k+sum_k^2+c_i$$

\[f_j-2\times sum_i\times sum_j+sum_j^2>f_k-2\times sum_i*sum_k+sum_k^2$$ ##### 　　那么对于$f_{{i+1}}$来说: ##### 　　选择j为决策既：$f_{{i+1}}=f_j+(sum_{i+1}-sum_j)^2+c_{i+1}$ ##### 　　选择k为决策既：$f_{i+1}=f_k+(sum_{i+1}-sum_k)^2+c_{i+1}$ ##### 　　从上面的式子可以得到选择k优于选择j（不信的话可以自己展开） ##### 　　那么可以证明这个dp方程式具有决策单调性的。 ## 【推导斜率式】 　$$f_j-2\times sum_i\times sum_j+sum_j^2>f_k-2\times sum_i*sum_k+sum_k^2\]

从这条式子继续

\[f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2>2\times sum_i*(sum_j-sum_k) \]

\[\frac{f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2}{sum_j-sum_k}>2*sum_i$$ 　 ##### 　　根据这条式子的定义，我们可以得到，对于$k>j$，只有在满足上面式子的情况下才会k比j优 ##### 　　我们把$(f_j+sum_j^2,sum_j)$和$(f_k+sum_k^2,sum_k)$分别看做坐标系上面的点，那么小于号左边的式子的含义恰好是这两个点之间的斜率。 ##### 　　现在我们假设找到了一个点(x,y)对于$f_i$最优。我们在x点上画一条斜率为$2*sum_i$的斜线，那么，对于其他所有点，都必须在这条斜线上方。 ##### 　　证明：若$(a,b)$在斜线下方，且$a<x$那么根据上面的式子$(a,b)(x,y)$之间的斜率会大于$2\times sum_i$并且$a<x$，那么(x,y)则不是最优点。若(a,b)在斜线下方，且$a>x$那么根据上面的式子$(a,b)(x,y)$之间的斜率会小于$2\times sum_i$并且$a>x$，那么(x,y)则不是最优点。 ![](http://images2017.cnblogs.com/blog/1216492/201708/1216492-20170810195252824-1523165336.png) ##### 　　换句话说，对于$f_i$来说，最优解x是斜率$k=2*sum_i$从下往上扫扫到点集里最优的那个点。 ##### 　　显然，我们可以得到一个很显然的结论，那就是这个最优解x在下凸壳上。那么我们可以通过一个队列来维护凸包，并且根据决策单调性，还有$\frac{f_j-f_k+sum_j^2-sum_k^2}{sum_j-sum_k}>2*sum_i$这条斜率式，我们可以每次比对下凸壳上相邻的两个点（也就是队首元素），若队列中第二个元素比队首元素优，那么我们可以删除队首元素（决策单调性，队首元素再也用不到）。 ##### 　　我们注意到，对于点i来说，他的横坐标是$sum_i$,因为$sum_i$是前缀和，是递增的，所以加入的点的横坐标也是递增的，那么对于每个点，我们只要把它加入维护凸包的那个队列就好了。 # 【某些不得不说的东西】： ##### 　　最后我们推出来的式子一般都是长这样： ##### $\frac{上边一些与j和k相关的元素}{下边一些与j和k相关的递增的元素，注意，是递增}<或>只与i有关并且递增的常数$ ##### 　　如果右边的与i有关的常数不是递增的，那意味着我们要扫的答案的斜率不是递增的，那么决策单调性就会消失，我们就要用平衡树或者三分去维护。所以一般，正常，好写的斜率优化最后推出来的式子一般都形如上面那条√\]

posted @ 2017-08-10 19:31 玄方阅读(438) 评论(4) 编辑收藏举报

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\(【\)题目\(】:\)

【\(n^2\)做法】:

显然，我们能得到一个效率为\(n^2\)的dp方程

我们先设

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