解题：SDOI 2014 重建

题面

做这个这个题需要稍微深入理解一点矩阵树定理：套矩阵树定理得到的东西是有意义的，它是“所有生成树边权乘积之和”(因为度数矩阵是点的边权和，邻接矩阵是边权)，即$\sum_{t}\prod_{e∈t}v_e$，其中t是生成树集合中的树。

但是这题同时还要保证不该出现的不要出现，所以答案其实是$\sum_{t}(\prod_{e∈t}v_e\prod_{e'∉t}(1-v_{e'}))$

怎么做？我们尝试推一波把它变成矩阵树定理的形式再套

$ans=\sum_{t}(\prod_{e∈t}v_e\prod_{e'∉t}(1-v_{e'}))$

$=\sum_{t}(\prod_{e∈t}v_e\frac{\prod (1-v_e)}{\prod_{e∈t}(1-v_e)})$

$=\prod (1-v_e)(\sum_{t}\prod_{e∈t}\frac{v_e}{1-v_e})$

注意可能会有不出现/必定出现的边，没法做除法，怎么办？

我们给他一个极小的边权，保证不影响结果，因为答案精度不是十分高=。=

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define double long double
using namespace std;
const int N=55;
const double eps=1e-10;
double rd,mul,equ[N][N]; int n;
void Correct(double &x)
{
    if(x<=eps) x=eps;
    if(1-x<=eps) x=1-eps;
}
void Guass()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int tmp=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)    
            if(fabs(equ[j][i])>fabs(equ[tmp][i])) tmp=j;
        for(int j=i;j<=n;j++)
            swap(equ[i][j],equ[tmp][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)
            {
                double tep=equ[j][i]/equ[i][i];
                for(int k=i;k<=n;k++)
                    equ[j][k]-=tep*equ[i][k];
            }
    } 
}
int main()
{
    scanf("%d",&n),mul=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%Lf",&rd),Correct(rd);
            if(i<j) mul*=(1-rd); equ[i][j]=rd/(1-rd);
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        equ[i][i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j) equ[i][i]-=equ[i][j];
    }
//    for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))
//        for(int j=1;j<=n;j++)
//            printf("%.2Lf ",equ[i][j]);
    n--,Guass();
    for(int i=1;i<=n;i++) mul*=equ[i][i];
    printf("%.5Lf",abs(mul));
    return 0;
}