[GESP202603 五级] 有限不循环小数题解

前言

蒟蒻的第一篇正经markdown题解
非常经典的一道数学题，只需要知道公式即可轻松解决

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题目大意

输入\(m,n\)，输出\(m,n\)中所有“终止数，什么是“终止数”，若\(\frac{1}{a}\)能化成有限不循环小数，那么称a为终止数

思路

我们首先需要知道如何判断“终止数”，结论：若\(a = 2 ^ n + 5 ^ n\)那么\(a\)为终止数

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证明 这里提供两种证明方式

1.若 \(a = 2^m \cdot 5^n\)，则 \(\dfrac{1}{a}\) 是有限小数

因为 \(a = 2^m \cdot 5^n\)，取 \(k = \max(m, n)\)，则有：

\[\frac{1}{a} = \frac{1}{2^m \cdot 5^n} = \frac{2^{k-m} \cdot 5^{k-n}}{2^k \cdot 5^k} = \frac{2^{k-m} \cdot 5^{k-n}}{10^k} \]

此时分子为整数，分母为 \(10^k\)，因此该分数可写为小数点后 \(k\) 位的有限小数（末尾可能有多余的零）。

（若 \(\dfrac{1}{a}\) 是有限小数，则 \(a = 2^m \cdot 5^n\)）

设 \(\dfrac{1}{a}\) 是有限小数，小数点后共有 \(k\) 位，则可写为：

\[\frac{1}{a} = \frac{b}{10^k} \]

其中 \(b\) 为整数（即将小数部分去掉小数点后得到的整数，位数不足时在前面补零，不影响整数性）。

于是：

\[a \cdot b = 10^k = 2^k \cdot 5^k \]

这说明 \(a\) 是 \(2^k \cdot 5^k\) 的因数，因此 \(a\) 的质因数只可能是 \(2\) 和 \(5\)，即存在非负整数 \(m, n\) 使得 \(a = 2^m \cdot 5^n\)（且 \(0 \le m \le k,\; 0 \le n \le k\)）。

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结论

综上，证毕：

\(\dfrac{1}{a}\) 能化为有限小数（有限不循环小数） \(\iff\) \(a = 2^m \cdot 5^n\)（\(a\) 的质因数只含 \(2\) 和 \(5\)）。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int L, R;
    cin >> L >> R;
    int sum = 0;
    for (int i = L; i <= R; i++) {
        int k = i;
        while (k % 2 == 0) k /= 2;
        while (k % 5 == 0) k /= 5;
        if (k == 1) sum++;
    }
    cout << sum;
    return 0;
}

总结：

数学题

求个置顶~~
看完点个赞蟹蟹喵~
祝大家rp+++~