P11229 [CSP-J 2024] 小木棍题解

蒟蒻今天做这题时候觉得很有意思，一道j的第三题竟然能只用基础语句AC！？所以有感而发写了这篇题解，这里附上教师资格证（主要是怕有人不信这方法能过）

正文

题目概述

用恰好 \(n\) 根小木棍拼出一个没有前导零的正整数，要求拼出的数尽可能小。若无法拼出，输出 -1。

每个数字所需木棍数如下：

数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
木棍	6	2	5	5	4	5	6	3	7	6

多组测试数据，\(T \le 50\)，\(n \le 10^5\)。

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思路分析

要使拼出的数尽可能小，最重要的原则是位数尽可能少。在位数相同的前提下，再让高位数字尽可能小。

观察发现，数字 8 消耗的木棍最多（7 根），所以要想用尽量少的位数凑出 \(n\) 根木棍，应该尽可能多地使用数字 8。
设 \(k = \lfloor n / 7 \rfloor\)，\(r = n \bmod 7\)。如果能用 \(k\) 个 8 直接凑出 \(n\)（即 \(r = 0\)），答案就是 \(k\) 个 8 组成的数。

若 \(r \neq 0\)，则需要在前面添加一至两位数字来消耗掉多出的 \(r\) 根木棍，同时保证数值最小。因为 0 不能作为首位，且数字不能有前导零，所以不能简单地在前面加 0。

下面按余数 \(r\) 分类讨论，假设 \(k \ge 1\) 时我们可以将部分 8 替换为更省木棍的数字组合，使得总木棍数恰好为 \(n\)，并且前缀尽可能小。

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遍历

1. \(r = 0\)

全用 8，输出 \(k\) 个 8。

2. \(r = 1\)

若 \(n=1\)，无解，输出 -1。
否则 \(n \ge 8\)，此时 \(k \ge 1\)。
把最前面的一个 8（7 根）换成 10（2+6=8 根），刚好增加 1 根木棍，总数为 \(7(k-1)+8 = 7k+1 = n\)。
因为 10 是两位数，但这是最小的填法（不能是 01 或单独一个数字）。
输出：10 后接 \(k-1\) 个 8。

3. \(r = 2\)

在最前面放一个 1（2 根），后面接 \(k\) 个 8。
总木棍 \(2 + 7k = 7k+2 = n\)，且没有前导零，最小。
输出：1 后接 \(k\) 个 8。

4. \(r = 3\)

情况稍复杂，需要按 \(k\) 的取值讨论：

• \(k = 0\)（即 \(n = 3\)）：只能拼出 7（3 根）。
• \(k = 1\)（即 \(n = 10\)）：若只用 1 和 8，余 2 根的做法会得到 18（2+7=9，不够），28（5+7=12，多了）…… 最优是 22（5+5=10）。
• \(k \ge 2\)（即 \(n \ge 17\)）：用前缀 200（5+6+6=17）代替两个 8（14 根），正好多出 3 根，总数 \(7(k-2)+17 = 7k+3 = n\)。
  为什么不用 1 开头？若用 1，需要再消耗 1 根变成某种组合，位数会增多，或高位更大。经过枚举，200 是最小的。
  输出：200 后接 \(k-2\) 个 8。

5. \(r = 4\)

• \(k = 0\)（\(n = 4\)）：输出 4（4 根）。
• \(k \ge 1\)（\(n \ge 11\)）：前缀 20（5+6=11）代替一个 8（7 根），多出 4 根。
  输出：20 后接 \(k-1\) 个 8。

6. \(r = 5\)

前缀 2（5 根），后面接 \(k\) 个 8。
\(n = 5\) 时，\(k=0\)，直接输出 2。
输出：2 后接 \(k\) 个 8。

7. \(r = 6\)

前缀 6（6 根），后面接 \(k\) 个 8。
\(n = 6\) 时输出 6，\(k=0\) 同样成立。
输出：6 后接 \(k\) 个 8。

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贪心：

1. 位数最少：尽可能多地使用 8（每数字 7 棍），只在余数不为 0 时，用 1~2 个数字调整前缀，位数最多为 \(k\) 或 \(k+1\)。可以证明没有更少位数的方案。
2. 在同位数下字典序最小：调整的前缀都选用了能覆盖余数的、且数值最小的组合（如 10、200、20 等），后面的 8 已经是可选的最大数字，无法再改动。

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代码实现

由于答案长度可能很大（\(n \le 10^5\) 时最多约 1.4 万个字符），直接输出字符

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        int k = n / 7;      // 最多能放的 8 的个数
        int r = n % 7;

        if (n == 1) {
            cout << -1 << endl;
            continue;
        }

        if (r == 0) {
            for (int i = 0; i < k; ++i) cout << 8;
            cout << endl;
        } else if (r == 1) {
            cout << 10;
            for (int i = 0; i < k - 1; ++i) cout << 8;
            cout << endl;
        } else if (r == 2) {
            cout << 1;
            for (int i = 0; i < k; ++i) cout << 8;
            cout << endl;
        } else if (r == 3) {
            if (k == 0) {
                cout << 7 << endl;
            } else if (k == 1) {
                cout << 22 << endl;
            } else {
                cout << 200;
                for (int i = 0; i < k - 2; ++i) cout << 8;
                cout << endl;
            }
        } else if (r == 4) {
            if (k == 0) {
                cout << 4 << endl;
            } else {
                cout << 20;
                for (int i = 0; i < k - 1; ++i) cout << 8;
                cout << endl;
            }
        } else if (r == 5) {
            cout << 2;
            for (int i = 0; i < k; ++i) cout << 8;
            cout << endl;
        } else if (r == 6) {
            cout << 6;
            for (int i = 0; i < k; ++i) cout << 8;
            cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}

注意

这道题要记得换行哦（因为什么我不说，嘻嘻）

而且建议大家写上define int long long