Educational Codeforces Round 104 (Rated for Div.2) - 题解

A. Arena

Problem - A - Codeforces

翻译：
有 \(n\) 个人正在战斗，我们用 \(a_i\) 表示第 \(i\) 个人的实力。每分钟都会发生一次随机的两个人（注意不能两人是同一人）之间的对决，实力高的人将会获胜，胜者的实力可以 \(+1\)。问有多少人有可能能赢至少 \(100^{500}\) 场对决。

Solution

每一场对决的两人都是随机的，等同于说就是让你指定的。

那么如果我们想让某人赢至少 \(100^{500}\) 场对决，该怎么办？

如果TA不是这群人中实力最弱的，那么我们就让他欺负 \(100^{500}\) 次最弱的人就行了！（有点不厚道呢）

如果TA是实力最弱的......

显然，TA一场对决都赢不了，所以TA不可能赢至少 \(100^{500}\) 场对决了。

因此解法就很显然了，枚举每一个人，如果TA的实力不是实力最弱的，就让答案 \(+1\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n, a[105], ans, minn;

int main() {
    scanf("%d", &t);
	
    while (t--) {
        ans = 0, minn = 2003;
		
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
	    scanf("%d", &a[i]);
	    minn = min(minn, a[i]);
	}
		
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    if (a[i] != minn) ans++;
			
	printf("%d\n", ans);
    }
	
    return 0;
}

B. Cat Cycle

Problem - B - Codeforces

Solution

显然 \(n\) 为偶数时两只猫不会相遇。

而当 \(n\) 为奇数时，我们可以发现猫 B 每过 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 小时都会与猫 A 相遇。

所以过了 \(k\) 小时后猫 B 会比计划多移动 \(\lfloor \frac{k-1}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \rfloor\) 个睡觉地点。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n, k, length;

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
	scanf("%d %d", &n, &k);
		
	if (n&1) k += (k-1)/(n/2); 
	printf("%d\n", (k-1)%n+1);
    }
	
    return 0;
}

C. Mininum Ties

Problem - C - Codeforces

Solution

显然每只队伍需要比 \(n-1\) 场比赛。可以考虑根据奇偶分类讨论。

如果 \(n\) 为奇数，我们可以让每一队都赢一半比赛，可以做到 \(0\) 场平局。

如果 \(n\) 为奇数，我们计算出在使得平局数量最少的情况下每一队的得分，再使用 \(num\) 数组维护每一队在比完每一场比赛后的得分。

接着比较 \(num_i\) 与期望得分的大小就可以判定这一场的胜负了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n, num[105], score;

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
	memset(num, 0, sizeof(num));
	
	scanf("%d", &n);
	
	if (n == 2) {
    	    printf("0\n");
       	    continue;
	}
		
	if (n & 1) {
	    for (int i = 1; i < n; i++) {
		for (int j = i+1; j <= n; j++) {
		    if (num[i] <= 0) {
			printf("1 ");
			num[i]++;
		    } else {
			printf("-1 ");
			num[i]--;
	    	    }
		}
	    }
	    printf("\n");
	} else {
	    score = (3*(n-1)-1)/2;
			
	    for (int i = 1; i < n; i++) {
		for (int j = i+1; j <= n; j++) {
		    if (num[i] <= score-3) {
			printf("1 ");
			num[i] += 3;
		    } else if (num[i] < score) {
			printf("0 ");
			num[i] += 1;
			num[j] += 1;
		    } else {
			printf("-1 ");
			num[j] += 1;
		    }
		}
	    }
			
	    printf("\n");
	}
    }
	
    return 0;
}

D. Pythagorean Triples

Problem - D - Codeforces

Solution

一道纯的推柿子题。

假设元组 \((a, b, c)\) 满足要求，则显然有

\(\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} a^2 + b^2 = c^2 & \\ a^4 - 2a^2b + b^2 = c^2 \end{array} \right. \end{equation}\)

两式相减，得

\(a^4 = a^2(2b+1)\)

因此

\(a^2 = 2b + 1\)

带入①式，有

\(b^2 + 2b + 1 = c^2\)

是不是很熟悉？所以

\((b+1)^2 = c^2\)

\(b + 1 = c\)

这时我们来看看范围，\(1 \le a \le b \le c \le n\)，所以 \(b \le n-1\)，从而有 \(a^2 \le 2n-1\)

因此 \(a \le \sqrt{2n-1}\)

而因为 \(b\) 为正整数而 \(a^2 = 2b+1\)，故 \(a\) 必为奇数

注意 \(a\) 为 \(1\) 时 \(b = 0\) 不成立

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n, maxn;

int main() {
    scanf("%d", &t);
	
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
	n = 2*n-1;
	maxn = int(sqrt(n));
	printf("%d\n", (maxn-1)/2); 
    }
	
    return 0;
}