#dp，KTT#CF1830F The Third Grace

题目

有一条数轴，上面有 \(n\) 个区间和 \(m\) 个点，第 \(i\) 个区间覆盖坐标 \([l_i,r_i]\)，

第 \(i\) 个点在坐标 \(i\) 处，具有权值 \(p_i\)。

最初，所有点都未激活。对于第 \(i\) 个区间，我们定义它的代价为：

若区间内没有被激活的点，则代价为 \(0\)；否则，代价为在区间内坐标最大的被激活点的权值。

你需要选择一些点来激活，使所有区间的代价之和最大，求这个最大值。

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分析

设 \(dp[i]\) 表示激活 \(i\) 以及 \(i\) 之前的点能获得的最大代价，那么答案就是所有 \(dp\) 的最大值。

考虑把它扔到线段树上，那么 \(dp[i]=dp[j]+k[i]\times p[i]\)，将区间按右端点排序。

那么每个区间都会给 \(dp_{l\sim r}\) 的 \(k\) 各加上一，而且是不断增大的，那么就可以用 KTT 来做。

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代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long lll; const lll inf=1e18;
const int N=1000011; 
struct node{int y,next;}e[N];
int a[N],n,m,T,as[N];
struct rec{lll sum,lmax,rmax,w;};
struct Segment_Tree{
	lll K[N<<2],B[N<<2],bound[N<<2],lazy[N<<2];
	void pmax(lll k1,lll b1,lll k2,lll b2,lll &k,lll &b,lll &bound){
		if (b1<b2||(b1==b2&&k1<k2)) swap(k1,k2),swap(b1,b2);
		k=k1,b=b1;
		if (k1<k2) bound=min(bound,(b1-b2)/(k2-k1));
	}
	void pup(int k){
		bound[k]=min(bound[k<<1],bound[k<<1|1]);
		pmax(K[k<<1],B[k<<1],K[k<<1|1],B[k<<1|1],K[k],B[k],bound[k]);
	}
	void ptag(int k,lll z){
		B[k]+=K[k]*z,lazy[k]+=z;
		if (bound[k]!=inf) bound[k]-=z;
	}
	void build(int k,int l,int r){
		lazy[k]=0;
		if (l==r){
			K[k]=a[l],B[k]=0,bound[k]=inf;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(k<<1,l,mid);
		build(k<<1|1,mid+1,r);
		pup(k);
	}
	void update(int k,int l,int r,int x,lll y){
		if (l==r){
			lazy[k]=0,B[k]=y;
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if (x<=mid) update(k<<1,l,mid,x,y);
			else update(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
		pup(k);
	}
	void update(int k,int l,int r,int x,int y,lll z){
		if (l==x&&r==y&&z<=bound[k]){
			ptag(k,z);
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if (lazy[k]){
			ptag(k<<1,lazy[k]);
			ptag(k<<1|1,lazy[k]);
			lazy[k]=0;
		}
		if (y<=mid) update(k<<1,l,mid,x,y,z);
		    else if (x>mid) update(k<<1|1,mid+1,r,x,y,z);
		        else update(k<<1,l,mid,x,mid,z),update(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,z);
		pup(k);
	}
	lll query(int k,int l,int r,int x,int y){
		if (l==x&&r==y) return B[k];
		int mid=(l+r)>>1;
		if (lazy[k]){
			ptag(k<<1,lazy[k]);
			ptag(k<<1|1,lazy[k]);
			lazy[k]=0;
		}
		if (y<=mid) return query(k<<1,l,mid,x,y);
		    else if (x>mid) return query(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
		        else return max(query(k<<1,l,mid,x,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,y));
	}
}Tre;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	for (cin>>T;T;--T){
		cin>>m>>n;
		for (int i=1;i<=m;++i){
			int l,r; cin>>l>>r;
			e[i]=(node){l,as[r]},as[r]=i;
		}
		for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
		Tre.build(1,1,n);
		for (int i=1;i<=n;++i){
			Tre.update(1,1,n,i,i>1?Tre.query(1,1,n,1,i-1):0);
			for (int j=as[i];j;j=e[j].next)
				Tre.update(1,1,n,e[j].y,i,1);
		}
		cout<<Tre.B[1]<<'\n';
		for (int i=1;i<=n;++i) as[i]=0;
	}
	return 0;
}