CF1523E Crypto Lights

考虑本题的式子
显然期望等于概率乘权值之和。定义 \(p_i\) 为点亮 \(i\) 颗灯结束操作的概率。那么显然有期望：

\[E=\Sigma_{i=1}^np_i \]

注意这个 \(p_i\) 对 \(p_i\) 作一个后缀和。

\[s_i = \Sigma_{j = i} ^ n p_i \]

那么我们可以把 \(E\) 转化为

\[E=\Sigma_{i=1}^ns_i \]

我们有一种显然的转化，\(s_i\) 为活到 \(i-1\) 步的概率。
这是一个经典套路，求期望转为求概率。

然后，合法方案可以用插板法求，也即将合法点和后 \(k-1\) 个点亮的点合并之后插入剩下的为点亮的点， 方案为

\[\binom{n - (k - 1) * (i - 2)}{i - 1} \]

总方案为 \(\binom{n}{i - 1}\) ，并且显然对于合法方案选点的顺序无关，注意 \(i = 1\) 时概率为 \(1\)，所以，答案就是

\[1 + \Sigma_{i = 2}^{n} \frac{\binom{n - (k - 1) * (i - 2)}{i - 1}}{\binom{n}{i - 1}} \]