CF1523E Crypto Lights
考虑本题的式子
显然期望等于概率乘权值之和。定义 \(p_i\) 为点亮 \(i\) 颗灯结束操作的概率。那么显然有期望:
\[E=\Sigma_{i=1}^np_i
\]
注意这个 \(p_i\) 对 \(p_i\) 作一个后缀和。
\[s_i = \Sigma_{j = i} ^ n p_i
\]
那么我们可以把 \(E\) 转化为
\[E=\Sigma_{i=1}^ns_i
\]
我们有一种显然的转化,\(s_i\) 为活到 \(i-1\) 步的概率。
这是一个经典套路,求期望转为求概率。
然后,合法方案可以用插板法求,也即将合法点和后 \(k-1\) 个点亮的点合并之后插入剩下的为点亮的点, 方案为
\[\binom{n - (k - 1) * (i - 2)}{i - 1}
\]
总方案为 \(\binom{n}{i - 1}\) ,并且显然对于合法方案选点的顺序无关,注意 \(i = 1\) 时概率为 \(1\),所以,答案就是
\[1 + \Sigma_{i = 2}^{n} \frac{\binom{n - (k - 1) * (i - 2)}{i - 1}}{\binom{n}{i - 1}}
\]