CF1336E2

CF1336E2

考虑答案为：

\[F(x)=\prod (1+x^{a_i}) \]

设 \(G_c(x)=\sum [\textrm{popcount}(i)=c]x^i\)，那么有对于某个 \(c\)，答案为 \(F(x)G_c(x)[x^0]\)

对 \(F(x)\) 取 FWT，观察到 FWT\((1+x^{a_i})\) 的点值只有 \(0/2\)，所以整体做完 FWT 之后的点值只有 \(2^n\) 和 \(0\)，且任意一位为 \(0\) 此位的点值就是 \(0\)

且不为 \(0\) 的 \(i\) 会满足 \(\forall j,\textrm{popcount}(i\&a_j)\mod 2=0\)，设 \(c(i,j)\) 表示 \([\textrm{popcount}(i\&j)\mod 2=0]\)，则有如果 \(c(i,j)=1,c(k,j)=1\)，那么 \(c(i\oplus j,k)=1\)

不难看出 \(c(x,y)\) 的左右两边都满足此性质，于是两边均为封闭的集合（构成异或意义下的一个群）显然的事实是，\(y\) 部分的集合就是 \(a_i\) 处任意异或可以得到的所有可能的值，当此集合变大时，相应的 \(x\) 处的集合会变小，两个部分均可以使用线性基描述，可以证明两个部分的线性基大小之和为 \(m\)

此时，我们有两种思路：

• 维护可能异或出来的值并暴力。
• 维护 FWT 后有点值的位置并暴力。

至此，可以在 \(\mathcal O(2^{m/2})\) 的复杂度解决此问题。