UOJ449. 【集训队作业2018】喂鸽子

UOJ449. 【集训队作业2018】喂鸽子

AGC038E 弱化版？

Solution

先 \(\min-\max\) 容斥，现在问题是计算 \(\mathbb{E}(\min S)\)，首先我们知道集合的大小是无关的，设集合大小为 \(i\) 我们期望 \(\frac{n}{i}\) 次选中此集合。

接下来只需要计算期望抽多少次有一个到达 \(k\) 可以转换为求 \(\sum P(X\ge i)\)，对于某个 \(i\) 问题等价于给每个元素分配一个次数使得均小于 \(k\)，此时我们相当于计算 \(\sum (\sum [i<k]\frac{x^i}{i!})^m[x^n]\cdot n!\cdot (\frac{1}{m})^n\) 的各个系数之和然后乘以 \(\frac{n}{i}\) 即为期望次数了。

暴力计算 EGF 卷积只能得到 \(\mathcal O((nk)^2)\) 的做法。

使用 NTT 优化可以做到 \(\mathcal O(n^2k\log (nk))\)

更进一步，万事不决就求导：

\[(F(x)^i)'=i\times F(x)^{i-1}\times F'(x) \]

注意到 \(F'(x)=\sum \frac{x^i}{i!}[i<k]=F(x)-\frac{x^k}{k!}\)（方便起见给 \(k\) 先减了 \(1\)）

于是得到：

\[\begin{aligned} &(F(x)^j)'=j\times F(x)^{j-1}\times (F(x)-\frac{x^k}{k!}) \\&j\times F(x)^j-(F(x)^j)'=jF(x)^{j-1}\frac{x^k}{k!} \end{aligned}\]

后者是多项式卷单项式，预处理得到 \(G(x)\)，于是我们得到 \(j\times f_i-f_{i+1}(i+1)=j\cdot g_i\)，所以得到 \(f_{i+1}=(f_i-g_i)\times\frac{j}{(i+1)}\)

于是可以 \(\mathcal O(n^2k)\) 的解决此题。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = (s); i <= (t); ++ i )
#define drep( i, s, t ) for( register int i = (t); i >= (s); -- i )
#define re register
#define mp make_pair
#define pi pair<int, int>
#define pb push_back
#define vi vector<int>
#define int long long
int gi() {
	char cc = getchar() ; int cn = 0, flus = 1 ;
	while( cc < '0' || cc > '9' ) {  if( cc == '-' ) flus = - flus ; cc = getchar() ; }
	while( cc >= '0' && cc <= '9' )  cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar() ;
	return cn * flus ;
}
const int P = 998244353 ; 
const int N = 5e4 + 5 ; 
int fpow(int x, int k) {
	int ans = 1, base = x ;
	while(k) {
		if(k & 1) ans = 1ll * ans * base % P ;
		base = 1ll * base * base % P, k >>= 1 ;
	} return ans ;
}
int n, K, S, inv[N], fac[N], ifac[N], f[N], g[N], bef[N] ; 
int C(int x, int y) {
	return fac[x] * ifac[y] % P * ifac[x - y] % P ; 
}
signed main()
{
	n = gi(), K = gi() - 1, S = n * K, fac[0] = 1 ; 
	rep( i, 1, max( n, S ) ) inv[i] = fpow( i, P - 2 ), fac[i] = fac[i - 1] * i % P ; 
	rep( i, 0, max( n, S ) ) ifac[i] = fpow( fac[i], P - 2 ) ; 
	f[0] = 1 ; int Ans = 0 ; 
	for(re int i = 1; i <= n; ++ i) {
		rep( j, 0, S ) bef[j] = g[j], g[j] = 0 ; 
		rep( j, K, S ) g[j] = f[j - K] * ifac[K] % P ; 
		f[0] = 1 ; 
		rep( j, 1, S ) f[j] = (f[j - 1] % P - g[j - 1] + P) * inv[j] % P * i % P ; 
		int p = inv[i], d = n * inv[i] % P, ans = 0 ; 
		for(re int j = 0; j <= S; ++ j)
		ans = (ans + fac[j] * d % P * f[j]) % P, d = d * p % P ; 
		Ans = (Ans + C(n, i) % P * ((i & 1) ? 1 : P - 1) % P * ans % P) % P ; 
	}
	cout << Ans << endl ; 
	return 0 ;
}