迪利克雷生成函数

迪利克雷生成函数

定义

对于数列 \(\{f\}\)，定义 \(f\) 的 Dirichlet 生成函数 \((\rm DGF)\) 为：

\[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_n}{n^z} \]

不难发现 \((f\cdot g)(z)\) 为：

\[(f\cdot g)(z)=\sum_{n=1} \frac{\sum_{d|n}f_dg_{\frac{n}{d}}}{n^z} \]

• 考虑到 \(a^z\times b^z=(ab)^z\)

对于 Dirichlet 卷积意义下的单位元 \(\epsilon\)，其 DGF 为 \(\epsilon(z)=1\)

同时，我们定义的 \(I(n)=1\)，其对应的 PGF 即为 \(\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}\)，即 Zeta 函数

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运算

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\(\times\)

\[(f\cdot g)(z)=\sum_{n=1} \frac{\sum_{d|n}f_dg_{\frac{n}{d}}}{n^z} \]

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\(\rm Inv\)

等价于迪利克雷卷积逆。

\(f_1=1,f_{1}^{-1}=1\)

\(\sum_{d|n}f_df^{-1}_{\frac{n}{d}}=0\to f_n^{-1}=-\sum_{d|n,d\ne 1} f_df^{-1}_{\frac{n}{d}}\)

可以在 \(\mathcal O(n\log n)\) 的时间复杂度解决。

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\(\ln \& \exp\)

例题：

Dirichlet k 次根，即对于 \(g,k\) 计算 \(f^{k}=g\)

要求一个 \(\log\)（即倍增卷积无法通过）保证 \(g_1=1\)

\(n\le 10^6,k\le 10^9\)，答案对 \(10^9+7\) 取模。

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设 \(g=\ln f\)，那么 \(g'=\frac{f'}{f}\)

于是

\[g=\int f'\times f^{-1} \]

考虑求导：

\[\begin{aligned} &f(z)'=\bigg(\sum_n \frac{f_n}{n^z}\bigg)' \\&=\sum_n f_n \bigg(\Big(\frac{1}{n}\Big)^z\bigg)' \end{aligned}\]

注意到 \((n^x)'=\exp(x\ln n)=n^x\ln n\)

于是有：

\[\begin{aligned} &f(z)'=\sum_n \frac{f_n}{n^z}\ln (\frac{1}{n}) \\&f(z)'=-\sum_n \frac{f_n}{n^z}\ln n \end{aligned}\]

于是对于级数的变换即 \(f_n'=-f_n\ln n\)

问题来了，\(\ln n\) 在有理数域没有定义。

不过我们知道最后会求一次积分，所以找一个在求导意义下可以替换他的即可。

令 \(c(n)\) 表示 \(n\) 的质因子个数，那么 \(c(nm)=c(n)+c(m)\)

这样就可以解决 \(\ln\) 的问题了。

另一边，我们考虑积分的问题，显然积分即导数的逆运算，所以有 \(f_n'=-\frac{f_n}{c(n)}\)

接下来考虑 \(\exp\) 了。

\(g=\exp(f)\to g'=gf'\)

于是有 \(g_n'=\sum_{d|n} g_df'_{\frac{n}{d}}\)，故 \(-c(n)g_n=f_1c(1)\times g_n+\sum_{d\ne n,d|n} g_df_{\frac{n}{d}}'\)

即 \(g_n=-\frac{1}{c(n)}\sum_{d\ne n,d|n} g_df_{\frac{n}{d}}'\)

对于 \(n=1\)，\(g_1=1(f_1=1)\)

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = (s); i <= (t); ++ i )
#define drep( i, s, t ) for( register int i = (t); i >= (s); -- i )
#define re register
#define int long long
int gi() {
	char cc = getchar() ; int cn = 0, flus = 1 ;
	while( cc < '0' || cc > '9' ) {  if( cc == '-' ) flus = - flus ; cc = getchar() ; }
	while( cc >= '0' && cc <= '9' )  cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar() ;
	return cn * flus ;
}
const int P = 998244353 ; 
const int N = 1e6 + 5 ; 
int n, K, f[N], g[N], ig[N], c[N], inv[N] ;
int top, isp[N], p[N / 10] ; 
int fpow(int x, int k) {
	int ans = 1, base = x ;
	while(k) {
		if(k & 1) ans = 1ll * ans * base % P ;
		base = 1ll * base * base % P, k >>= 1 ;
	} return ans ;
}
void init(int x) {
	rep( i, 2, x ) {
		if( !isp[i] ) p[++ top] = i, c[i] = 1 ; 
		for(re int j = 1; j <= top && p[j] * i <= x; ++ j) {
			isp[i * p[j]] = 1, c[i * p[j]] = c[i] + 1 ;
			if( i % p[j] == 0 ) break ;
		}
	} 
	rep( i, 1, x ) inv[i] = fpow(c[i], P - 2) ; 
}
int h[N] ; 
void fmul(int *a, int *b) {
	memset( h, 0, sizeof(h) ) ;
	rep( i, 1, n ) for(re int j = i; j <= n; j += i)
		h[j] = (h[j] + a[i] * b[j / i]) % P ; 
	rep( i, 1, n ) a[i] = h[i], h[i] = 0 ;
}
void fdev(int *a) {
	rep( i, 1, n ) a[i] = P - a[i] * c[i] % P ; 
}
void fint(int *a) {
	rep( i, 1, n ) a[i] = P - a[i] * inv[i] % P ; 
}
void fexp(int *a) {
	h[1] = 1 ; 
	rep( i, 1, n ) {
		if( i ^ 1 ) h[i] = P - inv[i] * h[i] % P ; 
		for(re int j = i * 2; j <= n; j += i)
			h[j] = (h[j] + h[i] * a[j / i]) % P ; 
	} rep( i, 1, n ) a[i] = h[i], h[i] = 0 ;
}
void fdiv(int *a) {
	h[1] = 1 ; 
	rep( i, 1, n ) {
		if( i ^ 1 ) h[i] = P - h[i] % P ; 
		for(re int j = i * 2; j <= n; j += i)
			h[j] = (h[j] + h[i] * a[j / i]) % P ; 
	} rep( i, 1, n ) a[i] = h[i], h[i] = 0 ;
}
signed main()
{
	n = gi(), K = gi(), init(n), K = fpow( K, P - 2 ) ; 
	rep( i, 1, n ) ig[i] = g[i] = gi() ; 
	fdev(ig), fdiv(g), fmul(g, ig), fint(g) ;
	rep( i, 1, n ) g[i] = g[i] * K % P ;
	fdev(g), fexp(g) ;
	rep( i, 1, n ) printf("%lld ", g[i] ) ; 
	return 0 ;
}