CF1096E

CF1096E [* easy]

有 \(n\) 个随机变量，每个变量均为一个非负整数，第一个随机变量的值大于等于 \(m\)，且随机变量的权值和为 \(S\)

假设一个随机变量为最大值，那么说这个变量 win 了，如果有多个随机变量为最大值，那么就随机说一个变量 win 了。

求第一个变量 win 的概率。答案对 \(998244353\) 取模。

\(n,S\le 5000,m\le 100\)

Solution

令 \(n-1\)，然后枚举第一个变量的值 \(x\)，其余元素的最大值和他权值相同的数量：

\[\sum_{x\ge m} \sum_i \frac{1}{i+1}\binom{n}{i}F(x-1,n-i,S-(i+1)\times x) \]

其中 \(F(a,b,c)\) 表示使用 \([0,a]\) 分配给 \(b\) 个人使权值和为 \(c\) 的方案数。\((1+x+x^2+...+x^a)^b[x^c]\)

即：

\[\begin{aligned} &(\frac{1-x^{a+1}}{1-x})^b[x^c] \\&=\frac{1}{(1-x)^b}\times (1-x^{a+1})^b[x^c] \\&=\frac{1}{(1-x)^b}\times \sum_j \binom{b}{j}x^{j(a+1)}(-1)^j[x^c] \\&=\sum_j \binom{b}{j}(-1)^j\times \binom{c-j(a+1)+b-1}{b-1} \end{aligned}\]

不难发现我们的外层枚举量为 \(\mathcal O(n\log n)\)

对于内层，单次计算的枚举量为 \(\min(\frac{c}{a+1},b)\)

所以总枚举量即：

\[\sum_{x\ge m} \sum_i^{ix\le S} \min(n,\frac{S}{x}) \]

其实也是 \(\sum \frac{S^2}{x^2}\) 大约是 \(S^2\)（\(\sum_i \frac{1}{i^2}=\frac{\pi^2}{6}\)。

分母的话大概是 \(\sum_{x\ge m} \frac{1}{(1-x)^n}[x^{S-x}]=\sum_{x\ge m}\binom{n+S-x-1}{n-1}\)。