Luogu EER2 河童重工

[EER1]河童重工

给定两棵树 \(T_1,T_2\)，定义点 \((u,v)\) 的边权为 \(\textrm{dist}_1(u,v)+\textrm{dist}_2(u,v)\)

这是一张完全图，求解其 MST

\(n\le 10^5\)，时限为 \(\rm 4s\)

\(\rm Sol:\)

先考虑子问题，Tree MST，我们可以做到 \(\mathcal O(n\log n)\)，甚至当作 \(\mathcal O(n)\) 看待。

对于 Tree MST，我们对于每个点建立 \(x'\) 并连接 \(x'\to x\) 的边，边权为 \(w_x\)，问题变为求解这些关键点的 MST

考虑对于每个点，记 \(pre_x\) 表示离他最近的关键点，\(\textrm{dis}_x\) 表示其到此点的距离，那么我们不妨枚举每条边 \((x,y)\)，然后将 \((pre_x,pre_y,\textrm{dis}_x+\textrm{dis}_y+w(x,y))\) 加入边集，然后对这 \(\mathcal O(n)\) 条边做 Kruskal 即可得到答案。

正确性证明：

考虑 Kruskal 过程中，如果存在边 \((x,z),(y,z)\) 均在 \((x,y)\) 之前被考虑到，那么 \((x,y)\) 这条边便没有意义。

假设上述边不够充分，那么即存在一个点对 \((x,y)\) 满足这条边需要加入集合，我们可以考虑 \(x\to y\) 的路径，设沿途依次为 \(a_1,a_2...a_k\) 这些节点，那么不存在 \((i,i+1)\) 使得 \(a_i,a_{i+1}\) 离最近的点分别为 \(x,y\)

于是总有一段前缀与后缀满足离他最近的点为 \(x,y\)，设沿途最近的点依次为 \(\{x,x,x...z,z...p,p...y,y\}\)，那么容易发现，\(x\to z\) 的边权小于 \(x\to y\)，\(z\to p\) 的边权小于 \(z\to y\)，依次类推，于是 \(x\to y\) 的边无意义。

接着考虑原题：

• 类似于 Tree MST，我们对第一棵树 \(T_1\) 进行点分治，设当前分治重心为 \(u\)，然后对于无序二元组 \((x,y)\) 我们定义他们的距离为 \(\textrm{dist}_1(x\to u\to y)+\textrm{dist}_2(x,y)\)，那么处理完当前轮的 MST 后就可以当作子问题递归处理。
• 容易发现这样不会影响正确性（同一棵子树内的点距离更大）

这个时候我们可以转换为上述问题，考虑将这些点拿出来建立虚树，并补充特殊点，接着每轮分治我们得到 \(\mathcal O(\rm size)\) 的边，总体边数为 \(\mathcal O(n\log n)\)，然后直接做一边 Kruskal 即可得到答案。