APIO2016 划艇

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给定 \(n\) 个数，每个点的取值为 \([a_i,b_i]\)，每个数可以选/不选，选之后需要确定其权值，求多少种选数方案使得其单调不降。

\(\rm Sol:\)

先考虑一个 \(\mathcal O(nw)\) 的做法，\(f_{i,j}=[a_i\le j\le b_i]\sum_{k<j} f_{i-1,k}+f_{i-1,j}\)

接下来有两种做法：

先将段进行离散化，每个权值当作 \([A,B)\) 这样的一个段，设 \(f_{i,j,k}\) 表示当前考虑到第 \(i\) 个位置，当前权值选在第 \(j\) 段内，当前段选了 \(k\) 个不同的数的方案数。

然后直接转移即可，复杂度 \(\mathcal O(n^3)\)

另一种做法是，考虑将区间划分为若干个 \([l,r)\) 的并，那么对于每一段区间，决策是一个 \(i\) 次多项式。

可以考虑直接维护 \(n\) 个点值，转移直接插值即可，对于每个点都需要插值一次，复杂度为 \(\mathcal O(n^3)\)